网上一道微软试题"称球问题"求解

12个球一个天平，现知道只有一个和其它的重量不同，问怎样称才能用三次就找到那个球。13个呢？

 

答案:

分别定义球为a b c d, e f g h, i j k l，取出abcd, efgh 　　
　第一种情形：
　　如果重量相等，则说明所求在 ijkl 中，
　　称量 i j ，
　　如果相等，比较 a k ，如果a=k，则所求为 l ；如果ak不等，则所求为 k 。
　　如果不等，比较 a i ，如果a=i，则所求为 j ；如果不等，则所求为 i 。 　　
　第二种：
　　如果 abcd 轻，
　　在efgh中取出 fgh ，替掉abcd中 bcd，从ijkl中取出 ijk 个放入 e 中填补空位：
　　如果afgh轻：则说明所求在a或e，拿 e 和除 a 以外的任意一球比较，如果重量相等，则所求的球是 a ；如果不等，则所求的球是 e 。
　　如果afgh重：说明所求在 fgh 中，且所求较重；比较 f g ，等重则所求为 h ；不等则重的为所求。
　　如果一样重：说明所求在 bcd 中，且所求较轻；以下同afgh重的情形。 　　
　第三种：
　　如果 abcd 重，
　　在efgh中取出 fgh ，替掉abcd中 bcd，从ijkl中取出 ijk 个放入 e 中填补空位：
　　如果 afgh 重：则说明所求在a或e，拿 e 和除 a 以外的任意一球比较，如果重量相等，则所求的球是 a ；如果不等，则所求的球是 e 。
　　如果afgh轻：说明所求在 fgh 中，且所求较轻；比较 f g ，等重则所求为 h ；不等则重的为所求。
　　如果一样重：说明所求在 bcd 中，且所求较重；以下同afgh轻的情形。 　　
　　此题答案就是这样。下面与大家进而探讨称任意球数的通用性。 　　
　

 

问题总结：[最精彩的地方]
　　　　天平称重，有两个托盘比较轻重，加上托盘外面，也就是每次称重有3个结果，就是ln3/ln2比特信息。n个球要知道其中一个不同的球，如果知道那个不同重量的球是轻还是重，找出来的话那就是n个结果中的一种，就是有ln（n）/ln2比特信息，如果不知道轻重，找出来就是2n（n个球中的一个，轻或者重，所以是2n）个结果中的一种，那就是ln（2n）/ln2比特信息。
　　　　假设我们要称k次，根据信息理论，那显然两种情况就分别有：
　　　　（1）k*ln3/ln2>=ln（n）/ln2　（k>=1）　解得k>=ln（n）/ln3
　　　　（2）k*ln3/ln2>=ln（2n）/ln2　（k>1）　解得k>=ln（2n）/ln3
　　　　这是得到下限，可以很轻易证明满足条件的最小正整数k就是所求。比如称3次知道轻重可以从3^3=27个球中找出不同的球出来，如果不知道轻重就只能从（3^3-1）/2=13个球中找出不同的球出来。