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概率生成器-算法

1.假设我有个{0,1}生成器，生成0的概率为p,生成1的概率为q,如何通过此发生器获得一个均为1/2的{0,1}生成器呢？

【答】思路：寻找两个等概率事件。易知连续投掷两次获得01或者10的概率均为p(1-p) =Y，因此如果我们连续生成两个数，如果获得00或者11概率为U=p^2+(1-p)^2，则继续再获取两个数，直到获取到10或者01为止。概率为(1+U+U^2+U^3+...)*Y 求极限为Y*(1/(1-U))=0.5

因此 我们得到了想要的，我们可以认为最终得到10的为事件0，最终得到01的为事件1，这样子就达到目的了。
2.假设我有一个随机数生成器范围为{1,2,3,4,5} 如何获得一个等概率的{0，1}生成器
【答】思路：同样采取上题的思路构造两个等概率事件：事件A: 不停生成数 直至生成的数A<3 事件B 不停生成数直至生成数A>3 同样可以证明这个两个事件发生概率都是0.5
3. 假设我有一个随机数生成器范围为{1,2,3,4,5} 如何获得一个{1-n}的等概率随机生成器
【答】思路：
（1）首先我们获得一个{0,1}等概率生成器
（2）我们获得一个XXX的随机二进制序列表示范围(0,1,2,...,2^k-1)。其中2^(K-1)<=n<2^k

（3）定义n个事件 其中M事件为:如果XXX属于{n+1,2^k-1}则再生成一个XXX的随机序列属于{0,1,2,..,n} 其中XXX=M的概率为1/n

扩展解法：已 知一随机发生器，产生0的概率是p，产生1的概率是1-p，现在要你构造一个发生器，使得它构造0和1的概率均为1/2；构造一个发生器，使得它构造1、 2、3的概率均为1/3；...，构造一个发生器，使得它构造1、2、3、...n的概率均为1/n，要求复杂度最低。

首先是1/2的情况，我们一次性生成两个数值，如果是00或者11丢弃，否则留下，01为1，10为0，他们的概率都是p*(1-p)是相等的，所以等概率了。
然 后是1/n的情况了，我们以5为例，此时我们取x=2，因为C(2x,x)=C(4,2)=6是比5大的最小的x，此时我们就是一次性生成4位二进制，把 1出现个数不是2的都丢弃，这时候剩下六个:0011,0101,0110,1001,1010,1100，取最小的5个，即丢弃1100，那么我们对于 前5个分别编号1到5，这时候他们的概率都是p*p*(1-p)*(1-p)相等了。
关键是找那个最小的x，使得C(2x,x)>=n这样能提升查找效率

PS：C(2x,x)的意思是生成2x位的二进制数，其中x位为1，x位为0，那么这样的数的概率都为p^x * (1-p)^x,在这样的数种取最小的前n个数即可.....

转自: http://longzxr.i.sohu.com/blog/view/188862810.htm