不要被阶乘吓倒

不要被阶乘吓倒

阶乘（Factorial）是个很有意思的函数，但是不少人都比较怕它，我们来看看两个与阶乘相关的问题：

问题一：

给定一个整数N，那么N的阶乘N！末尾有多少个0呢？例如：N＝10，N！＝3 628 800，N！的末尾有两个0。

分析与解法

有些人碰到这样的题目会想：是不是要完整计算出N！的值？如果溢出怎么办？事实上，如果我们从"哪些数相乘能得到10"这个角度来考虑，问题就变得简单了。

首先考虑，如果N！= K×10^M，且K不能被10整除，那么N！末尾有M个0。再考虑对N！进行质因数分解，N！=（2^x）×（3^y）×（5^z）…，由于10 = 2×5，所以M只跟X和Z相关，每一对2和5相乘可以得到一个10，于是M = min（X, Z）。不难看出X大于等于Z，因为能被2整除的数出现的频率比能被5整除的数高得多，所以把公式简化为M = Z。

根据上面的分析，只要计算出Z的值，就可以得到N！末尾0的个数。

【解法一】

要计算Z，最直接的方法，就是计算i（i =1, 2, …, N）的因式分解中5的指数，然后求和：

代码清单2-6

ret = 0;
for(i = 1; i <= N; i++)
{
    j = i;
    while(j % 5 ==0)
    {
        ret++;
        j /= 5;
    }
}

这里我们可以减少循环的次数，由于只有5的倍数才能贡献5，所以，第一步，我们只需要将N除以5，就可以知道，有多少个数可以贡献5，然后再遍历小于N的所有的数，即可，可以得到程序代码：

1. N /= 5;
   ret = N;
   for(i = 1; i <= N; i++)  
   {  
       j = i;  
       while(j % 5 ==0)  
       {  
           ret++;  
           j /= 5;  
       }  
   } 
   

这样，循环次数就减小为原来的1/5，同理，我们可以对[N/5]，再除以5，就可以知道[N/5]能贡献几个5，以此类推，就得到书中的解法二。

【解法二】

公式：Z = [N/5] +[N/5^2] +[N/5^3] + …（不用担心这会是一个无穷的运算，因为总存在一个K，使得5^K > N，[N/5^K]=0。）

公式中，[N/5]表示不大于N的数中5的倍数贡献一个5，[N/5^2]表示不大于N的数中5^2的倍数再贡献一个5，……代码如下：

ret = 0;
while(N)
{
    ret += N / 5;
    N /= 5;
}
问题二：
求N！的二进制表示中最低位1的位置。

分析与解法：
乍一看，似乎，问题二与问题一没什么关系。然而，我们换一个角度思考，二进制中最低位1后面肯定是0，那
么这里求最低位1的位置，即为求最低位1后面0的个数，而这，就和问题一是一样一样的，只不过一个是十进制表
，一个是二进制表示。
这里，所有小于N的数中，2的倍数都贡献一个0，4的倍数再贡献一个0，以此类推，很容易写出如下代码：

1. ret = 0;
2. while(N)
3. {
4.     N >>= 1;
5.     ret += N;
   
6. }
7. return ret+1;

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