关于-128的补码

8位定点整数的原码表示范围是-127到127
8位定点整数的补码表示范围是-128到127
在8位长度下，-128的原码与反码都不存在，因为一个字节的有符号数的原码范围是： -127 ~ + 127 ，既然不存在 -128的原码那么就无法求出 -128 的补码了，怎么办？  
前几天听汇编老师曲俊华讲过，-128这样的数很特殊，不是取反加一求补码。
-2^n是个特殊数（n为x数值位的长度）：它补码的求法应按照公式进行运算：
如：
－128
“[-2^7]补”=(2^8)+(-2^7)=10000000

原来还有更牛x的解释:http://blog.csdn.net/band_of_brothers/archive/2008/07/04/2612460.aspx

一般的说法是负数的补码为其原码除符号位外取反然后总体加一，也就是说，要得到一个负数数的补码，要先知道这个负数的原码才行。那么，问题出现了，在8位长度下，-128的原码与反码都不存在，因为一个字节的有符号数的原码范围是： -127 ~ + 127 ，既然不存在 -128的原码那么就无法求出 -128 的补码了，怎么办？  

    其实，这个问题的实际意义是，既然说计算机内部的有符号整数都是补码，那么怎么才能有效的实现这一设计呢？潜台词是：根据上面由原码推导出补码的理论，如果是正数，计算机得到其原码，也就是得到了其补码（正数补码等同于原码），如果是负数，先得到其原码，然后再取反加一就可以了。也就是说按这个思维设计编译器，或计算机电路，就可以了。但是如果出现开始说的 -128的补码问题，这个设计就不能工作了。其实，在真正的设计中，这种获得负数补码的“取反加一”的方案根本没有实施过！

    拿现代的计算机举例，输入设备只有键盘，通过编辑器程序把键盘的扫描码变成ascii码存储起来，比如输入 ‘a’就存储 0x61 ，输入 ‘5’就存储 0x35 ，这些都是ascii码。当你想得到真正的机器数时（注意，机器数和ascii是不同的，字符‘5’的ascii码是0x35，而数字5的机器数是0x5），需要借助编译器把表示数字的字符串从ascii码变成真正的机器数，比如你想得到 56的机器数（就是0x38），就可以输入语句“ db 56 ”，让汇编器程序帮你把56的ascii码字符串 ：“0x35， 0x36”，转变成真正的机器数 0x38。这一转化需要这样一段程序：先把 ‘5’与 ‘0’做减法，就是 0x35 – 0x30 得到 0x5 （这一步就将ascii字符5变成了真正的机器数5），再把 0x5 与 0xa （就是十进制 10）相乘得到 0x32 （就是十进制 50） ，然后再把 ‘6’与 ‘0’做减法，就是 0x36 – 0x30 得到 0x6 （就是机器数6），最后把 0x32 与 0x6 相加，得到 0x38 ，就是机器数56了。

    如果想得到 -56 ，就用语句 “ db -56 ”，这里得到机器数 56 的步骤与上面一致，只是最后要把 0xff 与 0x38 相乘，就是 -1 * 56 ，最后得到 0xc8 ，就是 -56 的补码。

    这里我们看到，得到 -56 得补码时根本没用什么“取反加一”，这里处理的过程都是很自然的，只要考虑各个数值的运算，而不用考虑数值的补码形式，以及如何得到负数的补码。为什么？因为加法，有符号乘法等指令的电路，都是按补码输入，补码输出来设计的，你只要保证输入的是补码，输出的肯定也是补码。所以，只要你输入 -1 的补码 0xff ，与56的补码 0x38 ，得到的自然是 -56 的补码 0x c8 。综上，我们在获得 -56 的补码时，没有采取先得到 -56 的原码，然后除符号位外各位取反，最后再总体加一的方式。

    由此可见，计算机是一个相当“封闭”的系统，他内部所有的有符号整数都是补码形式存在的，只要按数值的实际意义考虑问题，不用担心它的存储方式，比如想让 -56 与 6 相乘，你根本不用担心结果那个负数怎么变成补码，所有的运算电路都是按补码设计的。换句话说，“封闭”的计算机内部的有符号数都是补码的形式存在的，你根本不用考虑什么原码，什么取反加一了，你只要考虑你想要的数值就可以了，不要担心他怎么存储的。

    有了上面那个ascii码到机器数的转换程序后，数字的输入就不再是问题了，但是，考虑的更远一点，如果在计算机的“蛮荒时代”，所有的指令，数据，都要用机器语言一位一位的输入时（搬开关、打孔），那时的有符号整数又怎么输入呢？确实，在那个环境下，就只能用我们的大脑计算了，把数字在大脑中转换成补码的样子，然后输入。其实，真正需要我们在大脑里转换然后再输入的数只有5个，分别是 ‘+’，‘-’，‘0’，0，-1 ，他们的补码分别是：0x2b ，0x2d，0x30，0x00，0xff ，好了，用这5个补码和机器指令编出我们刚才讲的ascii码转化机器数的程序，从此以后，我们只要输入数字的ascii字符串就可以了，让这个程序帮我们转换成补码，不用再辛苦的计算补码了。

    深入到机器层，机器层面也根本用不着“原码取反加一”，因为机器里的所有数字，都是人工或者是编译器输入的，已经转换成了补码了，他本身已经是一个完备而封闭的系统了，根本没有接口接收其他有符整数的编码方案了。需要注意的是有一个取补指令neg ，这里的取补不是本来意义的“取反加一”（本来意义的“取反加一”只对负数），而是不论正负，把每一位取反，最后加一，就是说 neg 20 结果为 -20 ，neg -56 结果为56 ，就相当于把操作数与 -1 像乘了。这显然与为得到负数的补码采取的“取反加一”截然不同。当两个数做减法时，比如：有符号整数 60 （0x3c） 与 有符号整数 77 （0x4d）相减，加法器有一段电路把减数77取反加一，但是，请注意，这个电路跟neg一样，不管正负每位取反最后加一，就相当于用 乘法指令imul 把 操作数 与 -1 相乘了。这也跟求负数的补码采取的“取反加一”截然不同。

    综上，无论在编译器层面还是机器层面，“负数的补码为其原码除符号位外取反然后总体加一”这个方法都没有用上，这只是教科书上提供的便于记忆的方法而已。  

    根据上面的说法，分析下c中具体的问题：   c中int占4个字节，表示范围从 – 2147483648 到 2147483647 。  

    问题1：int -2147483648 ；编译后的值正确吗？

    上面说的转换程序，这个编译的步骤为： 计算2*10^9 + 2*10^8+ …… +4*10+8 ,因为int只能表示到 2147483647 （0x7fff ffff），再加1的话就溢出了，得到了：0x8000 0000 ，（就是 -2147483648） ，然后再把这个结果与 -1 就是 0xffff ffff 相乘，得到的结果也溢出了，为：0x8000 0000 ，但是这恰好是 – 2147483648的补码，所以，虽然编译中虽然出现了两次溢出，但得到的结果是正确的。  

    问题2：int x = - 2147483648； 那么 –x 是 2147483648吗？

    因为 – 2147483648 （0x8000 0000）与-1 （0xfff ffff）相乘结果为：0x8000 0000 就是– 2147483648 ，所以 –x 的结果还是 – 2147483648 而不是2147483648 。   所以，凡是结果可能超越表示范围的时候，一定要慎重，因为结果可能是你意料之外的。