一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。那么我们把构造连通网的最小代价生成树称为最小生成树。
找连通网的最小生成树，经典的有两种算法，普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。下面分别介绍两种算法。
一、普里姆（Prim）算法
普里姆算法，图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括连通图里的所有顶点，且其所有边的权值之和亦为最小。
1.1 算法描述
从单一顶点开始，普里姆算法按照以下步骤逐步扩大树中所含顶点的数目，直到遍及连通图的所有顶点。
（1）输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
（2）初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {}；
（3）重复下列操作，直到Vnew = V：
在集合E中选取权值最小的边（u, v），其中u为集合Vnew中的元素，而v则不是（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
将v加入集合Vnew中，将（u, v）加入集合Enew中；
（4）输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
1.2 例示
1.3 普里姆算法实现
/* 邻接矩阵表示的图结构*/
#include
#include
#include
typedef char VertexType; //顶点类型应由用户定义
typedef int EdgeType; //边上的权值类型应由用户定义
#define MAXVEX 100 //最大顶点数，应由用户定义
#define INFINITY 65535 //用65535来代表无穷大
#define DEBUG
//邻接矩阵结构
typedef struct
{
VertexType vexs[MAXVEX]; //顶点表
EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX]; //邻接矩阵，可看作边
int numVertexes, numEdges; //图中当前的顶点数和边数
}Graph;
//定位
int locates(Graph *g, char ch)
{
int i = 0;
for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
{
if(g->vexs[i] == ch)
{
break;
}
}
if(i >= g->numVertexes)
{
return -1;
}
return i;
}
//建立一个无向网图的邻接矩阵表示
void CreateGraph(Graph *g)
{
int i, j, k, w;
printf("输入顶点数和边数:\n");
scanf("%d,%d", &(g->numVertexes), &(g->numEdges));
#ifdef DEBUG
printf("%d %d\n", g->numVertexes, g->numEdges);
#endif
for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
{
printf("请输入顶点%d:\n", i);
g->vexs[i] = getchar();
while(g->vexs[i] == '\n')
{
g->vexs[i] = getchar();
}
}
#ifdef DEBUG
for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
{
printf("%c ", g->vexs[i]);
}
printf("\n");
#endif
for(i = 0; i < g->numEdges; i++)
{
for(j = 0; j < g->numEdges; j++)
{
g->arc[i][j] = INFINITY; //邻接矩阵初始化
}
}
for(k = 0; k < g->numEdges; k++)
{
char p, q;
printf("输入边(vi,vj)上的下标i，下标j和权值:\n");
p = getchar();
while(p == '\n')
{
p = getchar();
}
q = getchar();
while(q == '\n')
{
q = getchar();
}
scanf("%d", &w);
int m = -1;
int n = -1;
m = locates(g, p);
n = locates(g, q);
if(n == -1 || m == -1)
{
fprintf(stderr, "there is no this vertex.\n");
return;
}
//getchar();
g->arc[m][n] = w;
g->arc[n][m] = g->arc[m][n]; //因为是无向图，矩阵对称
}
}
//打印图
void printGraph(Graph g)
{
int i, j;
printf("构建的邻接矩阵如下所示.\n");
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)
{
printf("%5d ", g.arc[i][j]);
}
printf("\n");
}
}
//prime算法最小生成树
void MiniSpanTree_Prime(Graph g)
{
int min, i, j, k;
int adjvex[MAXVEX]; //保存相关顶点下标
int lowcost[MAXVEX]; //保存相关顶点间边的权值
lowcost[0] = 0; //初始化第一个权值为0，即v0加入生成树
adjvex[0] = 0; //初始化第一个顶点下标为0
for(i = 1; i < g.numVertexes; i++)
{
//循环除下标为0外的全部顶点
lowcost[i] = g.arc[0][i]; //将v0顶点与之有边的权值存入数组
adjvex[i] = 0; //初始化都为v0下标
}
for(i = 1; i < g.numVertexes; i++)
{
min = INFINITY; //初始化最小权值为无穷大
j = 1;
k = 0;
while(j < g.numVertexes) //循环全部顶点
{
//如果权值不为0,且权值小于min
if(lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min)
{
min = lowcost[j]; //则让当前权值成为最小值
k = j; //将当前最小值的下标存入k
}
j++;
}
printf("(%d,%d)", adjvex[k], k); //打印当前顶点边中权值最小边
lowcost[k] = 0; //将当前顶点的权值设置为0，表示此顶点已经完成任务
for(j = 1; j < g.numVertexes; j++)//循环所有顶点
{
if(lowcost[j] != 0 && g.arc[k][j] < lowcost[j])
{
//若下标为k的顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入的生成树权值
lowcost[j] = g.arc[k][j];
adjvex[j] = k; //将下标为k的顶点存入adjvex
}
}
}
printf("\n");
}
int main(int argc, char **argv)
{
Graph g;
//邻接矩阵创建图
CreateGraph(&g);
//打印网图
printGraph(g);
//求最小生成树
MiniSpanTree_Prime(g);
return 0;
}
运行结果如下：
由代码实现可知，邻接矩阵实现的普里姆算法的时间复杂度为O(n2)。
二、克鲁斯卡尔（Kruskal）算法
普力马算法是以某顶点为起点，逐步找各顶点上最小权值的边来构建最小生成树的。同样的思路，我们也可以直接就以边来构建生成树也是很自然的想法，只不过构建时要考虑是否会形成环路而已。此时，我们就用到了图的存储结构中的边集数组结构。以下是edge边集数组结构的定义代码：
//对边集数组Edge结构的定义
typedef struct
{
int begin;
int end;
int weight;
}Edge;
我们可以通过程序将邻接矩阵通过程序转化为边集数组，并且对它们的按权值从小到大排序。如下图所示。
于是克鲁斯卡尔算法代码如下，左侧数字为行号。其中MAXEDGE为边数量的最大值，MAXVEX为顶点个数最大值。具体代码如下所示。
/* 邻接矩阵表示的图结构*/
#include
#include
typedef char VertexType; //顶点类型应由用户定义
typedef int EdgeType; //边上的权值类型应由用户定义
#define MAXVEX 100 //最大顶点数，应由用户定义
#define INFINITY 65535 //用65535来代表无穷大
#define DEBUG
//邻接矩阵结构
typedef struct
{
VertexType vexs[MAXVEX]; //顶点表
EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX]; //邻接矩阵，可看作边
int numVertexes, numEdges; //图中当前的顶点数和边数
}Graph;
//边集数组
#define MAXEDGE 100
typedef struct
{
int begin;
int end;
int weight;
}Edge;
//定位
int locates(Graph *g, char ch)
{
int i = 0;
for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
{
if(g->vexs[i] == ch)
{
break;
}
}
if(i >= g->numVertexes)
{
return -1;
}
return i;
}
//建立一个无向网图的邻接矩阵表示
void CreateGraph(Graph *g)
{
int i, j, k, w;
printf("输入顶点数和边数:\n");
scanf("%d,%d", &(g->numVertexes), &(g->numEdges));
#ifdef DEBUG
printf("%d %d\n", g->numVertexes, g->numEdges);
#endif
for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
{
printf("请输入顶点%d:\n", i);
g->vexs[i] = getchar();
while(g->vexs[i] == '\n')
{
g->vexs[i] = getchar();
}
}
#ifdef DEBUG
for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
{
printf("%c ", g->vexs[i]);
}
printf("\n");
#endif
for(i = 0; i < g->numEdges; i++)
{
for(j = 0; j < g->numEdges; j++)
{
g->arc[i][j] = INFINITY; //邻接矩阵初始化
}
}
for(k = 0; k < g->numEdges; k++)
{
char p, q;
printf("输入边(vi,vj)上的下标i，下标j和权值:\n");
p = getchar();
while(p == '\n')
{
p = getchar();
}
q = getchar();
while(q == '\n')
{
q = getchar();
}
scanf("%d", &w);
int m = -1;
int n = -1;
m = locates(g, p);
n = locates(g, q);
if(n == -1 || m == -1)
{
fprintf(stderr, "there is no this vertex.\n");
return;
}
//getchar();
g->arc[m][n] = w;
g->arc[n][m] = g->arc[m][n]; //因为是无向图，矩阵对称
}
}
//打印图
void printGraph(Graph g)
{
int i, j;
printf("构建的邻接矩阵如下所示.\n");
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)
{
printf("%5d ", g.arc[i][j]);
}
printf("\n");
}
}
//prime算法最小生成树
void MiniSpanTree_Prime(Graph g)
{
int min, i, j, k;
int adjvex[MAXVEX]; //保存相关顶点下标
int lowcost[MAXVEX]; //保存相关顶点间边的权值
lowcost[0] = 0; //初始化第一个权值为0，即v0加入生成树
adjvex[0] = 0; //初始化第一个顶点下标为0
for(i = 1; i < g.numVertexes; i++)
{
//循环除下标为0外的全部顶点
lowcost[i] = g.arc[0][i]; //将v0顶点与之有边的权值存入数组
adjvex[i] = 0; //初始化都为v0下标
}
for(i = 1; i < g.numVertexes; i++)
{
min = INFINITY; //初始化最小权值为无穷大
j = 1;
k = 0;
while(j < g.numVertexes) //循环全部顶点
{
//如果权值不为0,且权值小于min
if(lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min)
{
min = lowcost[j]; //则让当前权值成为最小值
k = j; //将当前最小值的下标存入k
}
j++;
}
printf("(%d,%d)", adjvex[k], k); //打印当前顶点边中权值最小边
lowcost[k] = 0; //将当前顶点的权值设置为0，表示此顶点已经完成任务
for(j = 1; j < g.numVertexes; j++)//循环所有顶点
{
if(lowcost[j] != 0 && g.arc[k][j] < lowcost[j])
{
//若下标为k的顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入的生成树权值
lowcost[j] = g.arc[k][j];
adjvex[j] = k; //将下标为k的顶点存入adjvex
}
}
}
printf("\n");
}
//查找连线顶点的尾部
int Find(int *parent, int f)
{
while(parent[f] > 0)
{
f = parent[f];
}
return f;
}
//直接插入排序
void InsertSort(Edge edges[], int k)
{
int i, j;
Edge ss;
for(i = 1; i <= k; i++)
{
if(edges[i].weight < edges[i - 1].weight)
{
ss = edges[i];
for(j = i - 1; edges[j].weight > ss.weight; j--)
{
edges[j + 1] = edges[j];
}
edges[j + 1] = ss;
}
}
}
//将邻接矩阵转化为边集数组
void Convert(Graph g, Edge edges[])
{
int i;
int j;
int k;
k = 0;
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
for(j = i; j < g.numVertexes; j++)
{
if(g.arc[i][j] < 65535)
{
edges[k].begin = i;
edges[k].end = j;
edges[k].weight = g.arc[i][j];
k++;
}
}
}
k--;
#ifdef DEBUG
printf("k = %d\n", k);
printf("边集数组排序前，如下所示.\n");
printf("edges[] beign end weight\n");
for(i = 0; i < k; i++)
{
printf("%d", i);
printf(" %d", edges[i].begin);
printf(" %d", edges[i].end);
printf(" %d", edges[i].weight);
printf("\n");
}
#endif
//下面进行排序
InsertSort(edges, k);
#ifdef DEBUG
printf("边集数组排序后，如下所示.\n");
printf("edges[] beign end weight\n");
for(i = 0; i < k; i++)
{
printf("%d", i);
printf(" %d", edges[i].begin);
printf(" %d", edges[i].end);
printf(" %d", edges[i].weight);
printf("\n");
}
#endif
}
//克鲁斯卡尔算法实现
void MiniSpanTree_Kruskal(Graph g)
{
int i, n, m;
Edge edges[MAXEDGE]; //定义边集数组
int parent[MAXVEX]; //定义一数组用来判断边与边是否形成环
//此处为将邻接矩阵转化为边集数组edges并按权值由小到大排序
Convert(g, edges);
//
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
parent[i] = 0; //初始化数组值为0
}
for(i = 0; i < g.numEdges; i++) //循环每一条边
{
n = Find(parent, edges[i].begin);
m = Find(parent, edges[i].end);
if(n != m) //假如n与m不等，说明此边没有与现有生成树形成环路
{
parent[n] = m; //将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中
//表示此顶点已经在生成树集合中
printf("(%d,%d) %d ", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
}
}
printf("\n");
}
int main(int argc, char **argv)
{
Graph g;
//邻接矩阵创建图
CreateGraph(&g);
//打印网图
printGraph(g);
//普里姆算法求最小生成树
MiniSpanTree_Prime(g);
//克鲁斯卡尔算法求最小生成树
MiniSpanTree_Kruskal(g);
return 0;
}
以下图为例，进行相应的测试。
运行结果如下所示。
上述运行过程是这样的：
（1）输入顶点数、边数；
（2）输入顶点，和边（依次为起点、终点、权值）；
（3）建立邻接矩阵，用来表示该网图；
（4）进行普里姆算法进行求最小生成树；
（5）进行克鲁斯卡尔进行求最小生成树；
--根据已经建立的邻接矩阵求边集数组；
--然后进行求最小生成树；
克鲁斯卡尔算法的Find函数由边数e决定，时间复杂度为O(loge)，而外面有一个for循环e次，所以克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(eloge)。《此处不包括由邻接矩阵转为边集数组》
对比两个算法，克鲁斯尔算法主要是针对边来展开，边数少时效率会非常高，所以对于稀疏图有很大的优势；而普里姆算法对于稠密图，即边数非常多的情况会更好一些。
暂时弄懂了这两个算法，算是重新复习了一下，以后经常看看，不能再忘记了。
参考：《大话数据结构》、《维基百科》
梦醒潇湘love
2013-01-29 22:43
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