找规律

这一讲我们先介绍什么是“数列”，然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。

　　按一定次序排列的一列数就叫数列。例如，

(1) 1，2，3，4，5，6，…

(2) 1，2，4，8，16，32；

(3) 1，0，0，1，0，0，1，…

(4) 1，1，2，3，5，8，13。

　　一个数列中从左至右的第n个数，称为这个数列的第n项。如，数列(1)的第3项是3，数列(2)的第3项是4。一般地，我们将数列的第n项记作a_n。

　　数列中的数可以是有限多个，如数列(2)(4)，也可以是无限多个，如数列(1)(3)。

　　许多数列中的数是按一定规律排列的，我们这一讲就是讲如何发现这些规律。

　　数列(1)是按照自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律是：后项=前项+1，或第n项a_n＝n。

　　数列(2)的规律是：后项=前项×2，或第n项

　　数列(3)的规律是：“1，0，0”周而复始地出现。

　　数列(4)的规律是：从第三项起，每项等于它前面两项的和，即

　　a₃=1+1=2，a₄=1+2=3，a₅=2+3＝5，

　　a₆=3+5=8，a₇=5+8=13。

　　常见的较简单的数列规律有这样几类：

　　第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关。例如数列(1)(2)。

　　第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律。例如数列(3)(4)。

　　第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。这类情形稍为复杂些，我们用后面的例3、例4来作一些说明。

例1 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：

(1)4，7，10，13，( )，…

(2)84，72，60，( )，( )；

(3)2，6，18，( )，( )，…

(4)625，125，25，( )，( )；

(5)1，4，9，16，( )，…

(6)2，6，12，20，( )，( )，…

解：通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析，可发现

(1)的规律是：前项+3=后项。所以应填16。

(2)的规律是：前项-12=后项。所以应填48，36。

(3)的规律是：前项×3=后项。所以应填54，162。

(4)的规律是：前项÷5=后项。所以应填5，1。

(5)的规律是：数列各项依次为

　　1=1×1， 4=2×2， 9=3×3， 16=4×4，

　　所以应填5×5=25。

(6)的规律是：数列各项依次为

　　2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，

　　所以，应填 5×6=30， 6×7=42。

　　说明：本例中各数列的每一项都只与它的项数有关，因此a_n可以用n来表示。各数列的第n项分别可以表示为

(1)a_n＝3_n+1；(2)a_n＝96-12n；

(3)a_n＝2×3^n-1；(4)a_n＝5^5-n；(5)a_n＝n²；(6)a_n＝n(n+1)。

　　这样表示的好处在于，如果求第100项等于几，那么不用一项一项地计算，直接就可以算出来，比如数列(1)的第100项等于3×100+1=301。本例中，数列(2)(4)只有5项，当然没有必要计算大于5的项数了。

例2 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：

(1)1，2，2，3，3，4，( )，( )；

(2)( )，( )，10，5，12，6，14，7；

(3) 3，7，10，17，27，( )；

(4) 1，2，2，4，8，32，( )。

解：通过对各数列已知的几个数的观察分析可得其规律。

(1)把数列每两项分为一组，1，2，2，3，3，4，不难发现其规律是：前一组每个数加1得到后一组数，所以应填4，5。

(2)把后面已知的六个数分成三组：10，5，12，6，14，7，每组中两数的商都是2，且由5，6，7的次序知，应填8，4。

(3)这个数列的规律是：前面两项的和等于后面一项，故应填( 17+27=)44。

(4)这个数列的规律是：前面两项的乘积等于后面一项，故应填(8×32=)256。

例3 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：

(1)18，20，24，30，( )；

(2)11，12，14，18，26，( )；

(3)2，5，11，23，47，( )，( )。

解：(1)因20-18=2，24-20=4，30-24=6，说明(后项-前项)组成一新数列2，4，6，…其规律是“依次加2”，因为6后面是8，所以，a₅-a₄=a₅-30=8，故

　　a₅=8+30=38。

(2)12-11=1，14-12=2， 18-14=4， 26-18=8，组成一新数列1，2，4，8，…按此规律，8后面为16。因此，a₆-a₅＝a₆-26=16，故a₆＝16+26=42。

(3)观察数列前、后项的关系，后项=前项×2+1，所以

　　a₆=2a₅+1＝2×47+1＝95，

　　a₇＝2a₆+1＝2×95+1=191。

例4 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：

(1)12，15，17，30， 22，45，( )，( )；

(2) 2，8，5，6，8，4，( )，( )。

解：(1)数列的第1，3，5，…项组成一个新数列12，17， 22，…其规律是“依次加5”，22后面的项就是27；数列的第2，4，6，…项组成一个新数列15，30，45，…其规律是“依次加15”，45后面的项就是60。故应填27，60。

(2)如(1)分析，由奇数项组成的新数列2，5，8，…中，8后面的数应为11；由偶数项组成的新数列8，6，4，… 中，4后面的数应为2。故应填11，2。