乘法原理

让我们先看下面几个问题。

例1马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？

分析与解：由下图可以看出，帽子和鞋共有6种搭配。

　　事实上，小丑戴帽穿鞋是分两步进行的。第一步戴帽子，有3种方法；第二步穿鞋，有2种方法。对第一步的每种方法，第二步都有两种方法，所以不同的搭配共有

　　3×2＝6（种）。

例2从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？

分析与解：用A1，A2表示从甲地到乙地的2条路，用B1，B2，B3表示从乙地到丙地的3条路，用C1，C2表示从丙地到丁地的2条路（见下页图）。

　　共有下面12种走法：

　　A1B1C1 A1B2C1 A1B3C1

　　A1B1C2 A1B2C A1B3C2

　　A2B1C1 A2B2C1 A2B3C1

　　A2B1C2 A2B2C2 A2B3C2

　　事实上，从甲到丁是分三步走的。第一步甲到乙有2种方法，第二步乙到丙有3种方法，第3步丙到丁有2种方法。对于第一步的每种方法，第二步都有3种方法，所以从甲到丙有2×3=6（种）方法；对从甲到丙的每种方法，第三步都有2种方法，所以不同的走法共有

　　2×3×2＝12（种）。

　　以上两例用到的数学思想就是数学上的乘法原理。

乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，做第2步有m2种方法……做第n步有mn种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有

N＝m1×m2×…×mn

种不同的方法。

　　从乘法原理可以看出：将完成一件任务分成几步做，是解决问题的关键，而这几步是完成这件任务缺一不可的。

例3用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？

分析与解：组成一个三位数要分三步进行：第一步确定百位上的数字，除0以外有5种选法；第二步确定十位上的数字，因为数字可以重复，有6种选法；第三步确定个位上的数字，也有6种选法。根据乘法原理，可以组成三位数

　　5×6×6＝180（个）。

例4如下图，A，B，C，D，E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？

分析与解：将染色这一过程分为依次给A，B，C，D，E染色五步。

　　先给A染色，因为有5种颜色，故有5种不同的染色方法；第2步给B染色，因不能与A同色，还剩下4种颜色可选择，故有4种不同的染色方法；第3步给C染色，因为不能与A，B同色，故有3种不同的染色方法；第4步给D染色，因为不能与A，C同色，故有3种不同的染色方法；第5步给E染色，由于不能与A，C，D同色，故只有2种不同的染色方法。根据乘法原理，共有不同的染色方法

　　5×4×3×3×2＝360（种）。

例5求360共有多少个不同的约数。

分析与解：先将360分解质因数，

　　360＝2×2×2×3×3×5，

　　所以360的约数的质因数必然在2，3，5之中。为了确定360的所有不同的约数，我们分三步进行：

　　第1步确定约数中含有2的个数，可能是0，1，2，3个，即有4种可能；

　　第2步确定约数中含有3的个数，可能是0，1，2个，即有3种可能；

　　第3步确定约数中含有5的个数，可能没有，也可能有1个，即有2种可能。

　　根据乘法原理，360的不同约数共有

　　4×3×2＝24（个）。

　　由例5得到：如果一个自然数N分解质因数后的形式为

　　其中P1，P2，…，Pl都是质数，n1，n2…，nl都是自然数，则N的所有约数的个数为：

　　（n1＋1）×（n2+1）×…×（nl＋1）。

　　利用上面的公式，可以很容易地算出某个自然数的所有约数的个数。例如，11088＝2⁴×3²×7×11，11088共有不同的约数

　　（4＋1）×（2+1）×（1＋1）×（1＋1）＝60（个）。

例6有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。问：共有多少种不同的吃法？

分析与解：将10块糖排成一排，糖与糖之间共有9个空。从头开始，如果相邻两块糖是分在两天吃的，那么就在其间画一条线。下图表示10块糖分在五天吃：第一天吃2块，第二天吃3块，第三天吃1块，第四天吃2块，第五天吃2块。因为每个空都有加线与不加线两种可能，根据乘法原理，不同的加线方法共有2⁹＝512（种）。因为每一种加线方法对应一种吃糖的方法，所以不同的吃法共有512种。