定义新运算（二）

例1 已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。

　　分析与解：这是一道很简单的题，把a=9，b=2代入新运算式，即可算出结果。但是，根据四则运算的法则，我们可以先把新运算“※”化简，再求结果。

　　a※b=（a+b）-（a-b）

　　=a+b-a+b=2b。

　　所以，9※2=2×2=4。

　　由例1可知，如果定义的新运算是用四则混合运算表示，那么在符合四则混合运算的性质、法则的前提下，不妨先化简表示式。这样，可以既减少运算量，又提高运算的准确度。

　　例2 定义运算：a⊙b=3a+5ab+kb，

　　其中a，b为任意两个数，k为常数。比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k。

　　（1）已知5⊙2=73。问：8⊙5与5⊙8的值相等吗？

　　（2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a⊙b=b⊙a，

　　即新运算“⊙”符合交换律？

　　分析与解：（1）首先应当确定新运算中的常数k。因为5⊙2=3×5+5×5×2+k×2

　　 =65+2k，

　　所以由已知 5⊙2=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）÷2=4。定义的新运算是：a⊙b=3a+5ab+4b。

　　8⊙5=3×8+5×8×5+4×5=244，

　　5⊙8=3×5+5×5×8+4×8=247。

　　因为244≠247，所以8⊙5≠5⊙8。

　　（2）要使a⊙b=b⊙a，由新运算的定义，有

　　3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，

　　3a+kb-3b-ka=0，

　　3×(a-b)-k(a-b)=0，

　　(3-k)(a-b)=0。

　　对于两个任意数a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。

　　当新运算是a⊙b=3a+5ab+3b时，具有交换律，即　a⊙b=b⊙a。

　　例3 对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。

　　比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么10☆14=70-2=68。

　　（1）求12☆21的值；

　　（2）已知6☆x=27，求x的值。

　　分析与解：（1）12☆21=[12，21]-（12，21）=84-3=81；

　　（2）因为定义的新运算“☆”没有四则运算表达式，所以不能直接把数代入表达式求x，只能用推理的方法。

　　因为6☆x=[6，x]-（6，x）=27，而6与x的最大公约数（6，x）只能是1，2，3，6。所以6与x的最小公倍数[6，x]只能是28， 29， 30， 33。这四个数中只有 30是 6的倍数，所以 6与x的最小公倍数和最大公约数分别是30和3。因为a×b=[a，b]×（a，b），

　　所以6×x=30×3，由此求得x=15。

　　例4 a表示顺时针旋转90°，b表示顺时针旋转180°，c表示逆时针旋转90°，d表示不转。定义运算“◎”表示“接着做”。求：a◎b；b◎c；c◎a。

　　分析与解： a◎b表示先顺时针转90°，再顺时针转180°，等于顺时针转270°，也等于逆时针转90°，所以a◎b=c。

　　b◎c表示先顺时针转180°，再逆时针转90°，等于顺时针转90°，所以b◎c=a。

　　c◎a表示先逆时针转90°，再顺时针转90°，等于没转动，所以c◎a=d。

　　对于a，b，c，d四种运动，可以做一个关于“◎”的运算表（见下表）。比如c◎b，由c所在的行和b所在的列，交叉处a就是c◎b的结果。因为运算◎符合交换律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的结果。

　　例5 对任意的数a，b，定义：f（a）=2a+1， g（b）=b×b。

　　（1）求f（5）-g（3）的值；

　　（2）求f（g（2））+g（f（2））的值；

　　（3）已知f（x+1）=21，求x的值。

　　解：（1） f（5）-g（3）=（2×5+1）-（3×3）=2；

　　（2）f（g（2））+g（f（2））

　　 =f（2×2）+g（2×2+1）

　　 =f（4）+g（5）=（2×4+1）+（5×5）=34；

　　（3）f（x+1）=2×（x+1）+1=2x+3，

　　由f（x+1）=21，知2x+3=21，解得x=9。