等差数列

德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：

　　1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？

　　老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：

　　1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

　　1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为

　　（1+100）×100÷2＝5050。

　　小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

　　若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：

　　（1）1，2，3，4，5，…，100；

　　（2）1，3，5，7，9，…，99；

　　（3）8，15，22，29，36，…，71。

　　其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

　　由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：

和=（首项+末项）×项数÷2。

例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？

分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得

　　原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

　　注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11＋12＋13＋…＋31＝？

分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

　　原式=（11+31）×21÷2=441。

　　在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到

项数=（末项-首项）÷公差+1，

末项=首项+公差×（项数-1）。

例3 3＋7＋11＋…＋99＝？

分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，

　　项数=（99－3）÷4＋1＝25，

　　原式=（3＋99）×25÷2＝1275。

例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。

解：末项=25＋3×（40-1）＝142，

　　和=（25＋142）×40÷2＝3340。

　　利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。

例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？

　　分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：

　　由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。

解：（1）最大三角形面积为

　　（1＋3＋5＋…＋15）×12

　　＝［（1＋15）×8÷2］×12

　　＝768（厘米2）。

　　（2）火柴棍的数目为

　　3＋6＋9+…+24

　　＝（3＋24）×8÷2=108（根）。

　　答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。

例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？

分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了

　　2×1＋2×2＋…＋2×10

　　＝2×（1＋2＋…＋10）

　　＝2×55＝110（只）。

　　加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。

　　综合列式为：

　　（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3

　　＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。