Fast Fourier Transform 的缩写， 即为快速傅氏变换，是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。
即为快速傅氏变换，是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。
设x(n)为N项的复数序列，由DFT变换，任一X（m）的计算都需要N次复数乘法和N-1次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，一次复数加法等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出N项复数序列的X（m）,即N点DFT变换大约就需要N^2次运算。当N=1024点甚至更多的时候，需要N2=1048576次运算，在FFT中，利用WN的周期性和对称性，把一个N项序列（设N=2k,k为正整数），分为两个N/2项的子序列，每个N/2点DFT变换需要（N/2）^2次运算，再用N次运算把两个N/2点的DFT变换组合成一个N点的DFT变换。这样变换以后，总的运算次数就变成N+2（N/2）^2=N+N^2/2。继续上面的例子，N=1024时，总的运算次数就变成了525312次，节省了大约50%的运算量。而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的DFT运算单元，那么N点的DFT变换就只需要Nlog(2)(N)次的运算，N在1024点时，运算量仅有10240次，是先前的直接算法的1%，点数越多，运算量的节约就越大，这就是FFT的优越性。
Discrete Fourier transform
Syntax
Y = fft(X)
Y = fft(X,n)
Y = fft(X,[],dim)
Y = fft(X,n,dim)
Definition
The functions X = fft(x) and x = ifft(X) implement the transform and inverse transform pair given for vectors of length by:
where
is an th root of unity.
Description
Y = fft(X) returns the discrete Fourier transform (DFT) of vector X, computed with a fast Fourier transform (FFT) algorithm.
If X is a matrix, fft returns the Fourier transform of each column of the matrix.
If X is a multidimensional array, fft operates on the first nonsingleton dimension.
Y = fft(X,n) returns the n-point DFT. If the length of X is less than n, X is padded with trailing zeros to length n. If the length of X is greater than n, the sequence X is truncated. When X is a matrix, the length of the columns are adjusted in the same manner.
Y = fft(X,[],dim) and Y = fft(X,n,dim) applies the FFT
Examples
A common use of Fourier transforms is to find the frequency components of a signal buried in a noisy time domain signal. Consider data sampled at 1000 Hz. Form a signal containing 50 Hz and 120 Hz and corrupt it with some zero-mean random noise:
t = 0:0.001:0.6; %取时间序列t，起始0，步长0.001,终止0.6
x = sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);%取信号x = sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);
y = x + 2*randn(size(t)); %randn(size(t))按照正态分布产生一个和矩阵t同型的伪随机的矩阵
subplot(2,1,1)%画出y的图像
plot(1000*t(1:50),y(1:50))%画出Y的图像
title('Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise')%给图像命名
xlabel('time (milliseconds)')%给图像横坐标加图注
Y = fft(y,512);%对y进行快速傅里叶变换
Pyy = Y.* conj(Y) / 512;%用Y乘以Y的共模
f = 1000*(0:256)/512;%获得频率向量
plot(f,Pyy(1:257))%画频谱图
title('Frequency content of y')%图的名称
xlabel('frequency (Hz)')%图横坐标的注释
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