数学形态学的基本原理

1  数学形态学的基本原理（）

    数学形态学是分析几何形状和结构的数学方法,是建立在集合代数基础上,用集合论方法定量描述几何结构的 科学 。数学形态学是一组形态学的代数运算子组成。用这些算子及其组合进行图象形状和结构的分析处理包括图象分割、特征抽取、边缘检测等方面的工作^[3]。

图1.1  腐蚀的基本原理

    腐蚀是把结构元素B平移a后得到Ba，若Ba包含于X，我们记下这个a点，所有满足上述条件的a点组成的集合称做X被B腐蚀的结果。用公式表示为：E(X)={a| Ba∈X}=XθB如图1.1所示。

膨胀可以认为是腐蚀的对偶运算，其定义是：把结构元素B平移a后得到Ba，若Ba击中X，我们记下这个a点，所有满足上述条件的a点组成的集合称做X被B膨胀的结果。用公式表示为：D(X)={x|B[x]∩x≠ф} =X⊕B 如图1.2所示：

图1.2  膨胀的基本原理

    在数学形态学中，最为重要的两个组合运算是形态学开运算和闭运算。我们可以利用腐蚀和膨胀来定义开运算和闭运算。先腐蚀后膨胀称为开运算，即 OPEN(X)=D(E(X)) 。开运算可以消除散点和毛刺即对图像进行平滑。先膨胀后腐蚀称为闭运算，即CLOSE(X)=E(D(X)) 通过选择适当的元素结构可以通过闭运算将两个邻近的目标连接起来。开运算使图像变小，闭运算使图像增大。开闭运算有一个有趣的性质等幂性，它意味着一次滤 波就能把所有特定于结构元素的噪声滤除干净，重复运算不会再有效果。这与经典方法（如中值滤波，线性卷积）不同。 文献 [4]研究了膨胀和中值滤波结合在边缘检测中的应用。本文介绍腐蚀和中值滤波结合在边缘检测中的应用。