catalan

作者:baihacker
来源:

问题描述:
12个高矮不同的人,排成两排,每排必须是从矮到高排列, 而且第二排比对应的第一排的人高,问排列方式有多少种?
这个笔试题,很YD,因为把某个递归关系隐藏得很深.

问题分析:
我 们先把这12个人从低到高排列,然后,选择6个人排在第一排,那么剩下的6个肯定是在第二排.
用0表示对应的人在第一排,用1表示对应的人在第二 排,那么含有6个0,6个1的序列,就对应一种方案.
比如000000111111就对应着
第一排:0 1 2 3 4 5
第二 排:6 7 8 9 10 11
010101010101就对应着
第一排:0 2 4 6 8 10
第二排:1 3 5 7 9 11
问题转换为,这样的满足条件的01序列有多少个.
观察1的出现,我们考虑这一个出现能不能放在第二排,显然,在这个1之前出现的那 些0,1对应的人
要么是在这个1左边,要么是在这个1前面.而肯定要有一个0的,在这个1前面,统计在这个1之前的0和1的个数.
也就是 要求,0的个数大于1的个数.
OK,问题已经解决.
如果把0看成入栈操作,1看成出栈操作,就是说给定6个元素,合法的入栈出栈序列有多 少个.
这就是catalan数,这里只是用于栈,等价地描述还有,二叉树的枚举,多边形分成三角形的个数,圆括弧插入公式中的
方法数,其 通项是c(2n, n)/(n+1).

在<<计算机程序设计艺术>>,第三版,Donald E.Knuth著,苏运霖译,第一卷,508页,给出了证明:
问题大意是用S表示入栈,X表示出栈,那么合法的序列有多少个(S的个数为n)
显 然有c(2n, n)个含S,X各n个的序列,剩下的是计算不允许的序列数(它包含正确个数的S和X,但是违背其它条件).
在任何不允许的序列 中,定出使得X的个数超过S的个数的第一个X的位置.然后在导致并包括这个X的部分序列中,以
S代替所有的X并以X代表所有的S.结果是一个有 (n+1)个S和(n-1)个X的序列.反过来,对一垢一种类型的每个序列,我们都能
逆转这个过程,而且找出导致它的前一种类型的不允许序列.例 如XXSXSSSXXSSS必然来自SSXSXXXXXSSS.这个对应说明,不允许
的序列的个数是c(2n, n-1),因此an = c(2n, n) - c(2n, n-1).[Comptes Rendus Acad.Sci.105(Paris, 1887), 436~437]

验证:
其中F表示前排,B表示后排,在枚举出前排的人之后,对应的就是后排的人了,然后再验证是不是满足后面的 比前面对应的人高的要求.

C/C++ code

#include <iostream>
using namespace std;

int bit_cnt(int n)
{
    int result = 0;
    for (; n; n &= n-1, ++result);
    return result;
}

int main()
{
    int F[6], B[6];
    int ans = 0;
    for (int state = 0; state < (1 << 12); ++state) if (bit_cnt(state) == 6)
    {
        int i = 0, j = 0;
        for (int k = 0; k < 12; ++k) if (state&(1<<k)) F[i++] = k; else B[j++] = k;
        int ok = 1;
        for (int k = 0; k < 6; ++k) if (B[k] < F[k]) {ok = 0; break;}
        ans += ok;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

结果:132
而c(12, 6)/7 = 12*11*10*9*8*7/(7*6*5*4*3*2) = 132
注意:c(2n, n)/(n+1) = c(2n, n) - c(2n, n-1)

估计出题的人也读 过<<计算机程序艺术>>吧.

PS:
另一个很YD的问题:
有编号为1到n(n可以很大,不妨在 这里假定可以达到10亿)的若干个格子,从左到右排列.
在某些格子中有一个棋子,不妨设第xi格有棋子(1<=i<=k, 1<=k<=n)
每次一个人可以把一个棋子往左移若干步,
但是不能跨越其它棋子,也要保证每个格子至多只有一个棋子.
两 个人轮流移动,移动不了的为输,问先手是不是有必胜策略.