求字符串的相似度

两个字符串之间的相似度可以用编辑距离来定义。所谓编辑，指的是，对字符串中的任一字符进行插入，删除和替换这三种操作。经过一定步骤的编辑，一个字符串可以变换为另一个字符串，那么最少的编辑步数称为两个字符串的编辑距离。

这是一个递归或动态规划的问题。比如长度分别为m,n的字符串str1和str2，其编辑距离为d(m,n), 则显然有

d(m,n) = min((str1[m]==str2[n])?d(m-1,n-1):d(m-1,n-1)+1, 
             d(m,n-1)+1,
             d(m-1,n)+1)

其意思是，编辑距离只与三种情况有关。假设将str1转化为str2: 

第一种情况，让str1的前m-1个字符和str2的前n-1个字符进行转化，str1最后一个字符替换成str2最后一个字符。这样(str1[m]==str2[n])?d(m-1,n-1):d(m-1,n-1)+1这一句就好理解了。即两字符串最后一个字符相等的话，就用不着替换，否则就要替换。

第二种情况，将str1转化为str2的前n-1个字符，然后插入str2最后一个字符，变成str2。其编辑步骤数显然是d(m,n-1)+1。

第三种情况，和第二种情况类似，将str1的前m-1个字符转化为str2，然后删除str1最后一个字符。

这三种情况各得到一个编辑步骤数，取其最小值即可。

这样，我们得到一个递归式。其初始条件是

d(0,k)=k, 1<=k<=n
d(k,0)=k, 1<=k<=m

初始条件也是显然的，0个字符转化为任何字符串只有一直插入的份。

因此，我们就可以据此递推式构造一个动态规划过程，假设两个字符串分别为"china"和"unix"，则

		c	h	i	n	a
	0	1	2	3	4	5
u	1	1	2	3	4	5
n	2	2	2	3	3	4
i	3	3	3	2	3	4
x	4	4	4	3	3	4

图中黑色加粗部分是初始值，而红色部分是一条可能的路径。若将"china"变成"unix"，则可能的步骤是

c->u, h->n, delete n, a->x

编程实现时，可以直接在一个矩阵中进行。但为节约空间，也可以只用两个数组，每次更新一行。但要注意，较长的字符串要置于水平方向。

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

int min(int x,int y, int z){
    int m = x;
    if(m > y) m = y;
    if(m > z) m = z;
    return m;
}

int stringDistance(const char* str1, const char* str2){
    int len1 = strlen(str1);
    int len2 = strlen(str2);
    const char* longStr, *shortStr;
    int longLen, shortLen;
    if(len1 > len2){
        longStr = str1;
        shortStr = str2;
        longLen = len1;
        shortLen = len2;
    }else{
        longStr = str2;
        shortStr = str1;
        longLen = len2;
        shortLen = len1;
    }
    int *dist1 = new int[longLen+1];
    int *newdist = new int[longLen+1];
    for(int i=1;i<=longLen;i++){
        dist1[i] = i;
    }
    dist1[0] = 0;
    
    for(int j=0;j<=longLen;j++){
        cout << j << " " ;
    }
    cout << endl;
    for(int i=1;i<=shortLen; i++){
        newdist[0] = i;
        cout << i << " ";
        for(int j=1;j<=longLen;j++){
            newdist[j] = min(
                     (longStr[j-1]==shortStr[i-1])?dist1[j-1]:dist1[j-1]+1,
                    newdist[j-1]+1, dist1[j]+1);
            cout << newdist[j] << " ";
        }
        cout << endl;
        memcpy(dist1, newdist, sizeof(int)*(longLen+1));
    }
    int result = dist1[longLen];
    delete [] dist1;
    delete [] newdist;
    return result;
}


int main(int argc, char* argv[]){
    if(argc != 3){
        cout << "USAGE: " << argv[0] << " str1  str2" << endl;
        return 0;
    }
    cout << "Edit Distance is: " << stringDistance(argv[1],argv[2]) << endl;
    return 0;
}