仿射密码与扩展欧几里德变换

  仿射密码简介:
   仿射密码和移位密码一样, 也是一种替换密码. 不同的是, 移位密码中, 我们使用的是模n加; 而在下面的仿射密码中, 我们使用的上一节中介绍的模n乘. 在安全性方面, 仿射密码同移位密码一样, 都是极其差的, 不仅因为他们的原理简单, 更要命的是这两种替换密码没有隐藏明文的字频信息, 这很容易导致破解者轻易的攻破.
  
  
  放射密码中的一些概念:
  
   1) 明密文字母表为Z26
   2) 秘匙 K = (a,b) ∈ Z26_ × Z26 . 其中Z26_ 表示小于26且与26互素(或叫互质)的正整数的集合,这点非常重要的.
   3) 加密变换为 y = (ax + b) mod 26 ;
  
   很简单?(呵呵, 先别急.) 我们先来引入一个定义.
  
   大家知道, 好多东西都有逆, 大家读小学时都知道,两个数相乘乘机为1,则互为倒数, 其实是最简单的逆. 后来, 我们到了高中, 我们学习了逆函数; 到了大学, 我们学习线性代数, 知道两个矩阵的乘积为单位矩阵的话, 则这两个矩阵互为逆矩阵.
   现在我跟大家介绍另一种逆. 叫模逆. 其实很好理解的, 如下:
  若a,b两数的乘积对正整数n取模的结果为1. 则称a,b 互为另外一个的模逆.
   比如:
       3*7 = 21; 21 % 20 = 1 ; 所以3,7 互为 20 的 模逆.
       9*3 = 27; 27 % 26 = 1 ; 所以9,3 互为 26 的 模逆.
  
   如何标记?
  
   若a,b互为n的模逆 , 即b 为a 的模n的逆元 , 则记 b 为 a-1mod n (这里没公式编辑器, a-1中的-1在右上角, 见谅了呵呵).
  
   看了上面的定义, 我们知道:
   只有当 a 与 n 互素的时候, a 才是有模逆的. 其他情况下是不存在模逆的, 比如 2 对26 就没有模逆. 这是个很简单的数学问题, 大家动下手, 画几笔就清楚了.我就不多罗嗦了.
  
   [思考] 大家能快速的求出11对123的模逆吗? (放心,11和123是互素的.)
  
   可能大家会这样想:
  
   设其模逆为 b , 则 必定存在一个整数 t   , 使得等式 11b = 123t + 1 成立.
  
   我们再变化一下, 也即所求为 必须使得 (11b - 1) % 123 = 0 恒成立.
  
   到了这里, 如果使用笔算对b从2开始依次递加穷举的话,将会非常辛苦, 若将123换成一个更大一点的数, 用笔算穷举更是不可能的.
  
   聪明你的肯定想说, 写个程序算就行了啊. 不错, 写个程序帮我们穷举的确很棒, 充分发挥了计算机的作用.
  
   但这里, 我介绍给大家另外一种巧妙的方法 ---- 扩展欧几里德变换:
  
   123 =      1*123+       0*11
   11   =      0*123+       1*11      |11
   2    =      1*123+      (-11)*11   |5
   1    =     (-5)*123+     56*11
  
  
   聪明的你, 一定看出来了吧. 对! 我们将123和11都表示成 x * 123 + y * 11 的 格式, 然后相减, 在最右侧一栏写上每次减去的被减数的倍数. 依次进行, 知道减数变为1为止. 然后我们取第三列的最下面的一个数, 再对123 取模 即得11 对123的模逆.
   对于这个变换, 不清楚的朋友,我劝你们最好动笔画几下. 那样比我在这里说的起作用的多.嘿嘿~~
  
  
  这个算法的好处:
   我们编写这个算法的程序去求任何模逆都是非常高效的, 它帮我们以及CPU都节省了不少时间.
  
   为了加深理解, 来看一个例子:
  
   [例子] :求 1211对13211的模逆 .
  
13211   1     0            //这一行的1和0是固定的.
1211    0     1     |10    //这一行0和1也是固定的, 后面的10是13211减掉的1211的倍数.

                           //意思为减掉10个1211.
1101    1     -10   |1     //第一个1为上一行的第二个1抄下来;-10 = 0 - 1*10

                           //(上一行的算这一行的;)后面的1依然为减掉的倍数.
110     -10   11    |10    //-10 为带抄下来, 11 = 1 - (-10) *1 , 10 为倍数.
1             -120         //很快就到1了, 这时的 -120 就是我们要的.
  
  -120 % 13211= 13091 即为 1211 对13211 的模逆. 怎么样? 不错吧.   呵呵.

 

仿射密码：

加密函数是e(x) = ax + b(mod m)；

解码函数是d(x) = a ^{− 1}(x − b)(mod m)，其中a ^{- 1}是a对m的模逆。

例子：明文："cryptography".key(5,7);5对7的模逆为21;密文："roxezyloheqx",a~z映射为0~25

以上内容转自http://www.cnblogs.com/valder/articles/1704305.html

 

附：仿射密码VB版实现 VB仿射加密算法.rar