约瑟夫环问题

约瑟夫环问题

　　约瑟夫环（Josephus）问题是由古罗马的史学家约瑟夫（Josephus）提出的，他参加并记录了公元66—70年犹太人反抗罗马的起义。约瑟夫作为一个将军，设法守住了裘达伯特城达47天之久，在城市沦陷之后，他和40名死硬的将士在附近的一个洞穴中避难。在那里，这些叛乱者表决说“要投降毋宁死”。于是，约瑟夫建议每个人轮流杀死他旁边的人，而这个顺序是由抽签决定的。约瑟夫有预谋地抓到了最后一签，并且，作为洞穴中的两个幸存者之一，他说服了他原先的牺牲品一起投降了罗马。
　　约瑟夫环问题的具体描述是：设有编号为1，2，……，n的n(n>0)个人围成一个圈，从第1个人开始报数，报到m时停止报数，报m的人出圈，再从他的下一个人起重新报数，报到m时停止报数，报m的出圈，……，如此下去，直到所有人全部出圈为止。当任意给定n和m后，设计算法求n个人出圈的次序。

算法一：
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出
，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组
成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
   k   k+1   k+2   ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k      --> 0
k+1    --> 1
k+2    --> 2
...
...
k-2    --> n-2
k-1    --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这
个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x
变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相
信大家都可以推出来：x‘=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就
行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是
一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然
是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f=(f[i-1]+m)%i;   (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结
果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f，程序也是异常简单：

#include   
main()  
{  
   int n, m, i, s=0;  
   printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);  
   for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;  
   printf ("The winner is %d\n", s+1);  
}/*运用了一点数学策略 N=8 M=3 幸存为7 ;少于3的时候还可以数,因为为一个环;从他的下一个人起重新报数*/ 

算法二：
/*事实上，这个问题我上网搜过，其中最好的方法是用数学上的求余，程序代码大概4、5行就搞定了。但是在这里我是想实践下数据结构方面的知识，故用比较笨一点的方式*/
#include
#include
#define TOTAL 13 //猴子总数
#define INTERVAL 3 //出局报数号
struct monkey {
    unsigned int id; //猴子编号id
    struct monkey *next;
};

void del_node(struct monkey *node)
{
    /*节点删除函数：delete node->next*/
    struct monkey *temp;
    if (!node)
        return;
    temp = node->next;
    printf("Monkey ID %d is OUT\n", temp->id);
    node->next = temp->next;
    free(temp);
}

int init_list(struct monkey *head, unsigned int num)
{
    /*链表初始化，构造成环形链表*/
    unsigned int i;
    if (!head)
        return -EFAULT;

    head->id = 1;  
    struct monkey *current = head;
    for (i = 2; i <= num; i++)
    {
        /*创建节点，填写节点编号id，并嵌入到链表中*/
        struct monkey *temp = (struct monkey *)malloc(sizeof(struct monkey));
        if (NULL == temp)
            return -ENOMEM;
        temp->id = i;
        current->next = temp;
        current = temp;
    }
    current->next = head;
    return 0;
}

int main(void)
{
    unsigned int i=1;
    struct monkey *head = (struct monkey *)malloc(sizeof(struct monkey));
    if (NULL == head)
        exit(1);
    struct monkey *current = head;
    if (init_list(head, TOTAL))
        exit(1);
    if (INTERVAL < 2)
        return -1;
       
    while(1)
    {
        i++;
        /*当链表中只有一个节点时，退出循环*/
        if (current->next == current)
            break;
        if (i == INTERVAL)
        {
            del_node(current);
            i = 1;
        }
        current = current->next;
    }
    printf("Monkey king ID %d\n", current->id);
    return 0;
}