约瑟夫环问题
约瑟夫环(Josephus)问题是由古罗马的史学家约瑟夫(Josephus)提出的,他参加并记录了公元66—70年犹太人反抗罗马的起义。约瑟夫作为一个将军,设法守住了裘达伯特城达47天之久,在城市沦陷之后,他和40名死硬的将士在附近的一个洞穴中避难。在那里,这些叛乱者表决说“要投降毋宁死”。于是,约瑟夫建议每个人轮流杀死他旁边的人,而这个顺序是由抽签决定的。约瑟夫有预谋地抓到了最后一签,并且,作为洞穴中的两个幸存者之一,他说服了他原先的牺牲品一起投降了罗马。
约瑟夫环问题的具体描述是:设有编号为1,2,……,n的n(n>0)个人围成一个圈,从第1个人开始报数,报到m时停止报数,报m的人出圈,再从他的下一个人起重新报数,报到m时停止报数,报m的出圈,……,如此下去,直到所有人全部出圈为止。当任意给定n和m后,设计算法求n个人出圈的次序。
算法一:
为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出
,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组
成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换:
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这
个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x
变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相
信大家都可以推出来:x‘=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就
行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是
一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:
令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然
是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值,最后结
果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1
由于是逐级递推,不需要保存每个f,程序也是异常简单:
#include
main()
{
int n, m, i, s=0;
printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
printf ("The winner is %d\n", s+1);
}/*运用了一点数学策略 N=8 M=3 幸存为7 ;少于3的时候还可以数,因为为一个环;从他的下一个人起重新报数*/
算法二:
/*事实上,这个问题我上网搜过,其中最好的方法是用数学上的求余,程序代码大概4、5行就搞定了。但是在这里我是想实践下数据结构方面的知识,故用比较笨一点的方式*/
#include
#include
#define TOTAL 13 //猴子总数
#define INTERVAL 3 //出局报数号
struct monkey {
unsigned int id; //猴子编号id
struct monkey *next;
};
void del_node(struct monkey *node)
{
/*节点删除函数:delete node->next*/
struct monkey *temp;
if (!node)
return;
temp = node->next;
printf("Monkey ID %d is OUT\n", temp->id);
node->next = temp->next;
free(temp);
}
int init_list(struct monkey *head, unsigned int num)
{
/*链表初始化,构造成环形链表*/
unsigned int i;
if (!head)
return -EFAULT;
head->id = 1;
struct monkey *current = head;
for (i = 2; i <= num; i++)
{
/*创建节点,填写节点编号id,并嵌入到链表中*/
struct monkey *temp = (struct monkey *)malloc(sizeof(struct monkey));
if (NULL == temp)
return -ENOMEM;
temp->id = i;
current->next = temp;
current = temp;
}
current->next = head;
return 0;
}
int main(void)
{
unsigned int i=1;
struct monkey *head = (struct monkey *)malloc(sizeof(struct monkey));
if (NULL == head)
exit(1);
struct monkey *current = head;
if (init_list(head, TOTAL))
exit(1);
if (INTERVAL < 2)
return -1;
while(1)
{
i++;
/*当链表中只有一个节点时,退出循环*/
if (current->next == current)
break;
if (i == INTERVAL)
{
del_node(current);
i = 1;
}
current = current->next;
}
printf("Monkey king ID %d\n", current->id);
return 0;
}
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