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分类: C/C++

2009-03-07 00:11:33

   迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0,用某种数学方法导出等价的形式x=g(x),然后按以下步骤执行:
(1)    选一个方程的近似根,赋给变量x0;
(2)    将x0的值保存于变量x1,然后计算g(x1),并将结果存于变量x0;
(3)    当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时,重复步骤(2)的计算。
若方程有根,并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛,则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。上述算法用C程序的形式表示为:
【算法】迭代法求方程的根
{    x0=初始近似根;
   do {
     x1=x0;
     x0=g(x1);    /*按特定的方程计算新的近似根*/
     } while ( fabs(x0-x1)>Epsilon);
   printf(“方程的近似根是%f\n”,x0);
}
迭代算法也常用于求方程组的根,令
     X=(x0,x1,…,xn-1)
设方程组为:
     xi=gi(X)      (I=0,1,…,n-1)
则求方程组根的迭代算法可描述如下:
【算法】迭代法求方程组的根
   {    for (i=0;i        x=初始近似根;
     do {
       for (i=0;i          y=x;
       for (i=0;i          x=gi(X);
       for (delta=0.0,i=0;i          if (fabs(y-x)>delta)      delta=fabs(y-x);
       } while (delta>Epsilon);
     for (i=0;i        printf(“变量x[%d]的近似根是 %f”,I,x);
     printf(“\n”);
   }
   具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况:
(1)    如果方程无解,算法求出的近似根序列就不会收敛,迭代过程会变成死循环,因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解,并在程序中对迭代的次数给予限制;
(2)    方程虽然有解,但迭代公式选择不当,或迭代的初始近似根选择不合理,也会导致迭代失败
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