N的阶乘末尾有多少个0

问题：N的阶乘(N!)中的末尾有多少个0?

     例如:N = 5,N! = 120.末尾有1个0.

 

分析:想到这个问题，有人可能第一反应就是现求出N!,然后再根据求出的结果，最后得出N!的末尾有多少个0。但是转念一想，会不会溢出，等等。

     其实，从"那些数相乘可以得到10"这个角度，问题就变得比较的简单了。

     首先考虑，如果N的阶乘为K和10的M次方的乘积，那么N!末尾就有M的0。如果将N的阶乘分解后，那么

     N的阶乘可以分解为： 2的X次方，3的Y次方，4的5次Z方，.....的成绩。由于10 = 2 * 5,所以M只能和X和Z有关，每一对2和5相乘就可以得到一个10，于是M = MIN(X,Z),不难看出X大于Z，因为被2整除的频率比被5整除的频率高的多。所以可以把公式简化为M=Z.

     

     由上面的分析可以看出，只要计算处Z的值，就可以得到N!末尾0的个数

方法一

    要计算Z，最直接的方法就是求出N的阶乘的所有因式(1,2,3,...,N)分解中5的指数。然后求和

    

int fun1(int n)
{
    int num = 0;
    int i,j;
    
    for (i = 5;i <= n;i += 5)
    {
        j = i;
        while (j % 5 == 0)
        {
            num++;
            j /= 5;
        }
    }
    
    return num;
}

方法二：

Z = N/5 + N /(5*5) + N/(5*5*5).....知道N/(5的K次方)等于0

公式中 N/5表示不大于N的数中能被5整除的数贡献一个5，N/(5*5)表示不大于N的数中能被25整除的数再共享一个5.......

int fun2(int n)
{
    int num = 0;
    
    while(n)
    {
        num += n / 5;
        n = n / 5;
    }
    
    return num;
}