【转】闲扯原码、反码、补码

相 信大家看到这个标题都不屑一顾，因为在任何一本计算机基础知识书的第一章都有他们的解释，但是在书上我们只能找到一些简单的定义，没次看过之后不久就忘 了。最近论坛里有人问起这些概念，看到很多人的回复是以前看过现在忘了去看看某某书之类，很少有给出一个合理的解释。于是本人就开始思考（虽然上帝会发 笑，我还是要思考。），于是得出了以下的结论。

     数值在计算机中表示形式为机器数,计算机只能识别0和1,使用的是二进制,而在日常生活中人们使用的是十进制,"正如亚里士多德早就指出的那样,今天十进制的广泛采用,只不过我们绝大多数人生来具有10个手指头这个解剖学事实的结果.尽管在历史上手指计数(5,10进制)的实践要比二或三进制计数出现的晚."(摘自<<数学发展史>>有空大家可以看看哦~,很有意思的).为了能方便的与二进制转换,就使用了十六进制(2 4)和八进制(23).下面进入正题.

数值有正负之分,计算机就用一个数的最高位存放符号(0为正,1为负).这就是机器数的原码了.假设机器能处理的位数为8.即字长为1byte,原码能表示数值的范围为

(-127~-0 +0~127)共256个.

  有了数值的表示方法就可以对数进行算术运算.但是很快就发现用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题,如下: 假设字长为8bits

( 1 ) ₁₀-  ( 1 )₁₀ =  ( 1 )₁₀ + ( -1 )₁₀ =  ( 0 )₁₀

(00000001)_原 + (10000001)_原 = (10000010)_原 = ( -2 ) 显然不正确.

  因为在两个整数的加法运算中是没有问题的,于是就发现问题出现在带符号位的负数身上,对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码.反码的取值空间和原码相同且一一对应. 下面是反码的减法运算:

 ( 1 )₁₀ -  ( 1 ) ₁₀=  ( 1 ) ₁₀+ ( -1 ) ₁₀=  ( 0 )₁₀

 (00000001) _反+ (11111110)_反 =  (11111111)_反 =  ( -0 )  有问题.

( 1 )₁₀ -  ( 2)₁₀ =  ( 1 )₁₀ + ( -2 )₁₀ =  ( -1 )₁₀

(00000001) _反+ (11111101)_反 =  (11111110)_反 =  ( -1 ) 正确

问题出现在(+0)和(-0)上,在人们的计算概念中零是没有正负之分的.(印度人首先将零作为标记并放入运算之中,包含有零号的印度数学和十进制计数对人类文明的贡献极大).

于是就引入了补码概念. 负数的补码就是对反码加一,而正数不变,正数的原码反码补码是一样的.在补码中用(-128)代替了(-0),所以补码的表示范围为:

(-128~0~127)共256个.

注意:(-128)没有相对应的原码和反码, (-128) = (10000000)  补码的加减运算如下:

( 1 ) ₁₀-  ( 1 ) ₁₀=  ( 1 )₁₀ + ( -1 )₁₀ =  ( 0 )₁₀

(00000001)_补 + (11111111)_补 =  (00000000)_补 = ( 0 ) 正确

( 1 ) ₁₀-  ( 2) ₁₀=  ( 1 )₁₀ + ( -2 )₁₀ =  ( -1 )₁₀

(00000001) _补+ (11111110) _补=  (11111111)_补 = ( -1 )  正确

   所以补码的设计目的是:

     ⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则.

⑵使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计

  所有这些转换都是在计算机的最底层进行的，而在我们使用的汇编、C等其他高级语言中使用的都是原码。看了上面这些大家应该对原码、反码、补码有了新的认识了吧！

1，

表示一个数值要先说明是用多少bit，例如：
用8bit表示数值时，(-128)没有相对应的原码和反码, (-128)补码 = (1000 0000)
同理(2B=16bit)表示：(-32768)补码=(1000 0000 0000 0000),后面回给出证明，
因为它是不能简单的用取反加一的方法来求反码的。

2，

证明：用(2B=16bit)表示：(-32768)补码=(1000 0000 0000 0000)

（1）32767（正数补码与原码相同）是0111 1111 1111 1111
（2）-1的补码，其原码取反在加一得 1111 1111 1111 1111
（3）0111 1111 1111 1111+1000 0000 0000 0000=1111 1111 1111 1111
（4）（令上式x==1000 0000 0000 0000）即：32767+x=-1
（5）x=-32768


至于用(2B=16bit)表示，取反加一求(-32768)的补码，还望哪个高手指点简单的证明过程。
希望大家以后在被问为什么(-128)补码 = (1000 0000)，
(-32768)补码=(1000 0000 0000 0000)不要在说什么取反加一的话，
那样你证明我看看。给出证明，免得人家不明白还以为你在谈什么高深的话题，
结果却是被忽悠了。

3，

下面举例说明求负数的补码的补码

-1的补码是0xFFFF. 它是这样求的:

-1的原码: 1000 0000 0000 0001 ，
数值位按位求反: 0xFFFE==1111 1111 1111 1110，
末位加1: 0xFFFF==1111 1111 1111 1111

现在还按这个补码的求法, 作用在0xFFFF上,
0xFFFF : 1111 1111 1111 1111
数值位按位求反: 1000 0000 0000 0000
末位加1: 1000 0000 0000 0001，

这样又得到了-1。

就像求负数的绝对值，彼此导来导去都可以。