CFL条件对时间步长的限制

3. 时间步长限制

对于纯正压流体，TRIM 和 ELCOM均无条件稳定，即对任意时间步长，两种模型都能计算出稳定的数值解。但对于分层流，两种模型对动量方程中的斜压项均采用显式离散化，于是时间步长就要受到Courant－Friedrichs－Lewy内波条件（CFL_b）的限制，即需满足：

    上述不等式的左边被定义为斜压CFL数（CFL_b即柯朗数），其中 为分层运动所致的重力减小项，D为有效水深， 为内波波速的近似值。该斜压稳定条件通常也是密度分层流中最严格的限制条件。内波波度的重要性可以通过一个简单的量级分析看出：当湖水有效深度D的量级为 至 时，典型的湖泊分层流会产生一个重力修正项 。假设波速的量级为 ，则内波的推进速度 时。湖水最大水平速度的量级一般为 ，而预期的水平网格边长的量级为O (10²)m。

CFL条件下所允许的最大时间步长为：

如果U表示水平流速，则在CFL<1条件下允许的最大时间步长的量级为 ，如果U表示内波波速，则在CFL<1条件下允许的最大时间步长的量级为 ，因此，在水平方向上内波波速而并非流速控制着允许的最大时间步长，并且水平方向上CFL数的取值通常不必太大。但在垂直方向上，在CFL > 1条件下的数值差分格式无疑是具有优势的，此时的差分格式是稳定的。实际用到的垂直网格分辨率量级一般为 ，具体取值取决于湖泊的形态和现有的计算机处理能力。内波运动能产生量级为 的垂直速度，因此在CFL<1的条件下，细网格划分会产生量级为 的时间步长限制，这是不可接受的。

ELCOM对标量迁移使用满足水平对流的CFL条件的显式差分法，即需满足 。这个条件并不影响动量求解的时间步长（ ），但却用于计算标量迁移求解的亚时间步长（ ）。文献（Gross等人，1998）提出的隐格式法不要求垂直速度满足CFL条件，因此在垂直方向采用细网格分辨率（可得到较高的垂向CFL值）更好。而在垂直方向使用粗网格分辨率（垂向CFL值较低），现行的显式差分法将获得较高的计算效率。

对水平扩散方程使用显式差分的半隐式差分格式（如TRIM和ELCOM），起决定性作用的稳定性条件为黏滞流稳定条件（由1994年Casulli和Cheng的均匀流模型导出），即：

通常，该条件的限制性比斜压流稳定条件的限制性至少弱一个数量级。

当地球物理模型使用大的时间步长时，在给定的空间网格和时间步长（时空尺度）上速度场是否可被看作Lipschitz连续成为一个重要约束：也就是速度场的光滑程度能否满足使用数值近似的条件（Iserles，1996）。文献（Smolarkiewicz和Pudykiewicz，1992）提出Lipschitz数值常数B必须被限定为小于一个单位，即：

在多时间层半拉格朗日法中，已证明此条件是一个防止在时间和空间上流线逆推时出现相交情况的必要条件。上述Lipschitz条件被实践性地用作速度场中的固有特性的基础描述而得到合理的近似数值解。而现行的Euler-Lagrange法只能在空间上进行流线逆推。文献（Smolarkiewicz和Pudykiewicz，1992）证实了在B值较高的情况下，一个数值模型可能稳定，但其计算结果却不精确。这就对可被合理运用于模型的允许时间步长做出了基本限定，其重要意义在于指出可用的最大时间步长可能与物理性质有关，而与数值方法的稳定性无关。