编程之美中2.14的扩展为数组为环的情况下,最大连续和的求解问题,这里给出的答案出现了错误,其中谈到有环的情况,求以A[0]开头的最大连续和(A[0]......A[j]),并求以A[n-1]为尾的最大连续和(A[i],....,A[n-1]),在讨论时,出现 i <= j,则最大连续和为A[0] ..... A[n-1],这里有钟情况未进行处理:
假设数组为:5 -3 -1 5 10 11
以A[0]为头的最大连续和为5 -3 -1 5 10 11,以A[n-1]结尾的和也是该序列,但是由于出现环,最大连续和却是:5 10 11 5,这里对其进行修改,提出另外一种算法:
- #include <stdio.h>
- #include <stdlib.h>
- /*
- * 现在是数组为一个环形结构,最大连续和又该如何实现?
- * 1.最简单的方法:数组循环移位,再进行逐一求解最大连续和,算法复杂度O(n^2)
- * 2.s[i][l] = s[i][l-1]+a[i+l-1]; sum = max{s[i][l]},s[i][l]:以i开始长度为l的连续和
- * O(n) 的解法:
- * 1.解未出现跨域的情况,也就是a[0] ~ a[n-1](原问题)
- * 2.解出现跨域情况 a[n-1]~a[0] 出现在解的中间或边界
- */
- int max_subarray_bound(int a[],int from,int to)
- {
- int i,max,sum;
-
- max = a[from];
- sum = a[from];
-
- for(i = from + 1;i <= to;i++) {
- if(sum < 0)
- sum = 0;
- sum += a[i];
- if(max < sum)
- max = sum;
- }
- return max;
- }
- int max_subarray_cycle(int a[],int size)
- {
- int sum,i,j,s,m;
-
- //第一种情况,未跨域
- sum = max_subarray_bound(a,0,size-1);
- /*
- * 第二种情况,出现跨域,既然a[0] a[n-1]都出现在解中,则可以将其解延伸到最大,
- * 也就是从a[0]开始,向右扫描,从a[n-1]开始向左扫描,两者直到出现负数为止,
- * 这样就不会出现中间是负数,但是两端是正数,但却选择整个序列的情况.
- */
- if(size == 2) return sum;
- i = 1;
- j = size-2;
- s = a[i-1] + a[j+1];
-
- while(i < j && (a[i] >=0 || a[j] >= 0)) {
- if(a[i] >= 0) {
- s += a[i];
- i++;
- }
-
- if(a[j] >= 0) {
- s += a[j];
- j--;
- }
- }
-
- if(i == j) {
- if(a[i] >0) s+=a[i];
- if(s < sum) return sum;
- else return s;
- }
-
- if(i < j) {
- //算出以i为头部的所有连续子数组和或者以j为尾的连续子数组和,从而找到最大的元素
- int s2,k;
- m = a[i];
- s2 = m;
- for(k=i+1;k <= j;k++) {
- s2 += a[k];
- if(m < s2)
- m = s2;
- }
-
- s2 = a[j];
- for(k = j-1;k>=i;k--) {
- s2 += a[j];
- if(m < s2)
- m = s2;
- }
-
- if(m > 0)
- s += m;
- }
-
- if(s < sum) return sum;
- else return s;
-
- }
- int main(int argc,char *argv[])
- {
- //int a[] = {1,-3,20,-4,-10,11};
- int a[] = {5,-3,-1,5,10,11};
- printf("max sub array(cycle):%d\n",max_subarray_cycle(a,sizeof(a)/sizeof(a[0])));
- return 0;
- }
最值问题多半采用动态规划来完成,但在分析最优化子问题需要分析子问题的前缀特点,一般来讲前缀存在的形式有如下:
1.如果是连续问题,则前缀形成的递归式为i 与 i+1 项之间的关系
2.非连续问题,子问题就成了i 与 j之间的问题
3.如果是非连续,又有限定条件(背包问题),就需要采用i项"选“与”不选“之间的关系,写成递归式
4.上面涉及的都是单数组之间的前缀分析,如果涉及到两个以上的数组,则定义的子问题又可上面的三种形式:
5.子问题的前缀均为连续形式,则递归式就是每个数组之间i项与i+1项之间的关系
6.子问题的前缀非连续形式,则递归式中就是每个数组之间的i项与j项之间的关系
7.子问题的前缀在有限制的情况下,则递归式就是每个数组之间的i项”选“与”不选“之间的关系
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