三角函数实力排名

原创作者:schuma

Functia(1)

有一个安静的小镇，名叫Functia，镇上的居民被人称作functian。这其中一个普通的居
民叫Sinc，至少邻居们这么称呼他。他的样子嘛，顾名思义，有个圆滚滚的头，没有脖子
和腰，像一个酒盅扣在地上。衣服在旁边的地上拖得很长，像水的波纹一样。他在路上走
的时候，有时候被人上下打量，然后被人认出来， “哎，这不是正弦函数除以自变量本
身么？听人提起过你啊。”然后他就会很高兴的回答，“管我叫Sinc好了。”于是别人就
管他叫Sinc，其实谁也不知道那个C是什么意思。

Sinc爱种花，在自己的院子里种。他不想让随便什么人进来弄坏他的小花园，所以就修了
一个门。这个门，其实并没有门扇，只是墙的一个缺口而已。Sinc回家的时候，不能直接
进门——因为他的衣服拖得很长。到了门口，他会一转身，变一个样子，变成矩形... 好
，Sinc会变成矩形。整个变形一转身就完成了，他根本不用想积分之类的东西，这是写到
他基因里面的。变成矩形以后，很容易就可以进到门里去。要是他愿意的话，再转身变成
原来的样子。实际上哪种样子他都能舒服的呆着。这件事也不是秘密，因为稍微熟识Sinc
的人都知道，他的全名叫Sincus Rectanguli。

其实这种转身动作，镇上每个functian都会。镇外的人管它叫傅立叶转身。但是其实人们
也知道，傅立叶本人并不会这种魔术。Sinc最要好的朋友叫Lambda，从一边看是一个三角
形Λ，从另一边看跟Sinc样子差不多，只是更瘦一点。也许他们长得差不多所以关系好吧
。Lambda也能进到 Sinc的院门里，只要他用三角形的一面对着门。有传言说Lambda是
Sinc的孩子，一种说法说Sinc变成矩形的样子，用叫“卷积”的魔法制造了 Lambda；另
一种说法说Sinc会做“乘积”，于是产生了Lambda。也不知道哪种说法更可信。不过镇上
的元老们的解释是，这些都是假的，因为不管卷积还是乘积都是神话时代才有的魔法。要
是这种魔法现在还有人会的话，这个世界就全乱套了。

说起元老们，首先还得提到镇长，叫Gauss。它很胖，穿着宽大的袍子。镇上没有人比他
更老了，也没有人比他的威信更高。他似乎什么都懂，每次他咳嗽两下开始说话，其他的
functians都安静的听。小镇最高的房子上有一个钟楼，据说那口钟也是他的雕像。Sinc
对Gauss也很景仰，同时，敬而远之。Sinc对自己院子的门感到很得意，因为Gauss不管怎
么摆弄他的肥胖的身躯，都进不了那个门。这样Gauss就不会常常来串门，指手画脚了。
Gauss的转身功夫实在是有点差劲。他一转身，无非就是从矮胖变得稍微瘦高，但是袍子
总在脚边拖着。有人说这个袍子是他元老的象征，是不会消失的。顺便说一句，Functia
里的人，有时候见到美味吃的太多，变胖了以后，并不担心，即使女生们也不担心——她
们只要一转身，就变得甚至比先前更瘦了。所以胖瘦大家并不在意。Gauss以前宣布过一
个“海森堡减肥无用原理”，说就算你减肥了，一转身准保变胖。其实这个道理大家心里
都有数，Gauss 说这个只不过是为了反驳某些人说他胖而已。

Gauss也有个密友，叫Sech，也成天穿着件袍子，比Gauss瘦一点点，但是拖在地上的衣服
厚一些。人们见到的Sech也总是保持一个样子，其实许多人不知道Sech转身以后样子也还
是没变化，这点倒是跟Gauss很一样。不用说，因为那件不肯摘掉的袍子，他也进不了
Sinc的花园。许多人觉得Sech和Gauss条件很接近，完全有资格当镇长，但Sech一直比较
低调，也许是碍于面子，从不提这码事。人们只是见Sech经常跑到海滩上去冲浪，他在水
面上划过，活像一个孤立子。

镇上还有好多村民，一个长得很像Sinc的人叫Bessel。Gauss曾说，她的名字起的有点问
题，说她是一阶Bessel函数除以自变量本身，就像Sinc不能叫Sin一样，她也不应该叫
Bessel。不管怎么说，Bessel还是一个响亮的名字。她一转身会变成一个精确的半圆形，
扣在地上的样子。有人说这个样子很完美，有些人说像乌龟。但终归她这样可以去Sinc家
玩，所以她也是Sinc的常客。

一个叫Trapez的人，样子普通，也穿着花边衣服，转身后变成一个梯形的样子。他之所以
出名是因为他的职业，他是个旅行家，经常带照片回来给大家分享。他讲的外面的世界的
故事也是人们最喜欢听的。

虽然有那么两个阶层，元老和村民，但functians都和睦的生活着。直到有一天，长久的
平静被打破了


Functia(2)

有一天，Functia镇上的居民正在广场上闲聊，外出旅行的Trapez回来了。远远看见他回
来大家都很兴奋。他是以梯形的样子回来的，否则要是他转过身去，很难在远处把它和
Sinc区分开。但当他走近的时候，functians心中却产生了恐惧。因为那根本就不是原来
的Trapez了，他 受 伤了。他原本很健康很连续的梯形身体，变成了仿佛许多竖直的尖刺
排列而成的一个梯形。以往他每次一回来总是被大家围起来问长问短，这一次，从另一个
角度看他的人惊奇的发现，他的形状不再是像Sinc那样一个身体加上周围的拖地衣服，而
是有许多个同样的身体排成一个长队，像是用叠起来的纸剪出来的人形拉花，队伍的长度
都让人看不到尽头。这种事情，functians从没见过，因为所有的镇子里所有人的身体都
是有限大的，这个看不到头的队伍算是什么？他简直已经不是这个叫做INTEGRABLE的星球
上的生物，而是外星人了！Trapez自己也说不清为什么会这样，只是说在树林里走路，突
然被人从背后猛然推倒了，起来就变成这幅样子了。

出现怪事，要找Gauss。很快Gauss扭动着肥胖的身躯从图书馆里赶来。他端详了一会儿受
伤的Trapez，幽幽的说，“你，被采样了……”

采样这个字眼，居民们都没听说过。他们并不介意听到一个新词，因为镇长Gauss常用一
些没人认识的词说一些大家都知道的事，他毕竟同时是一个哲学家。这次不对劲的是，
Gauss说完这话就在闷头想什么事情，这和他一贯高调做事的风格不符。之后Gauss走到
Sinc跟前低声说了一句话就走了。 Gauss叫Sinc去他家。然而Sinc不想一个人去，倒不是
怕Gauss亏待他：因为Gauss有长长的衣角，他家连门都没有，应该说，连墙都没有，只是
一块空地而已，否则他回不了家。这对来做客的人来说很安全，只是Sinc觉得和Gauss这
样的前辈呆在一起并不自在。于是他叫上了好友Bessel 一同前往，这样就感觉舒服很多
了。

到了Gauss家所在的那块草地上，Gauss对Sinc说，“麻烦来了……”随即从书架上拿下一
本金边皮制封皮的大书。

居民们还在广场上讨论Trapez的伤势，这时候有人从城边跑来说，外面来了怪物，于是
Sech和另外几个人爬上钟楼眺望。往Functia镇移动而来的是一个像栅栏一样的东西，无
数一模一样的尖刺排成一排，两边都无穷无尽。这样一个栅栏居然整个缓缓的移动而来。
Sech跟人们一描述， Trapez立刻回想起在自己摔倒以后，见到了类似的东西，它非常危
险。

镇上有个叫Laplace的家伙很有责任心，听说有人要来攻打，便头也没回就往小镇外走去
。他是镇上最强壮的人，有个尖脑袋，左右两个手臂是指数衰减的，比Gauss那种指数平
方衰减的袍子可是粗壮了很多。他这个体型被搞概率学家称为Laplace分布，所以得到这
个绰号。如果他转过身来，虽然脑袋变得圆了一些，但是手臂更粗壮，达到平方分之一的
多项式量级！每当有危险的时候，Laplace总是冲在前面，这让所有functians都感到放心
。可这次让Laplace没想到的是，那个怪物栅栏是会魔法的。他刚接近怪物，就一下也变
成了尖刺排列的形状，只是尖刺的长度还是原来身体的形状。他像 Trapez一样，也被“
采样”了。最强壮的人都抵挡不住，难道这个尖刺军团要让所有的村民都面目全非么？

有居民想，也许从另一个角度可以看到怪物转身后的样子，只要别是这种栅栏形，怎么都
好说。可是Sech从钟楼眺望，发现即使换个角度看，这个怪物还是同样的形状。它竟然和
Gauss，Sech一样，是个转身也不变的家伙！没有弱点，不能攻破。

与此同时Gauss还在家里和Sinc，Bessel谈话。Gauss对着书说，“马上会有一个叫Comb的
怪物来了，他学名叫Dirac Array，是Dirac Delta异化，也就是，复制好多份的结果……
很久以前这个Dirac Delta曾经作乱，用乘积魔法把别人也变得和他一样……”

Sinc问，“等等，你是说乘积魔法真的存在？”

Gauss答道，“的确存在啊，只是因为破坏力太大，所以不使用这个魔法已经演化为一种
道德，被人们无条件的接受了……Dirac Delta的魔法威力虽然很大，但是他本人的弱点
也很明显，就是只要他转身，或者人们绕到他另一侧，就会发现他变成了一个平坦的常函
数模样，无论他怎么使用乘积魔法也没有效果了。所以那次作乱事件，Dirac Delta只能
偷袭别人……现在他可能是和许多受害者——被变成和他一样的人——融为一体，形成了
一个梳子形状，所以就算他转身，也逃不过他的魔爪……”

听到这里，Sinc绝望了，广场上也传来了嘈杂的声音，那是Sech在跟大家描述那只怪物。
Gauss继续说，“有些人管Comb施乘积魔法叫采样。Sinc你知道么，也有一些人管你叫采
样函数……”

“吓，莫非我和这个怪物有什么关系？”

“的确是的，因为如果你能放出乘积魔法的话，你可以干掉这个怪物……你看你的样子，
你拖在地上的衣服，在某些位置是没有的。调整好这些等间距的零点的话，恰好可以把
Comb的尖刺和零点对准，然后用乘积一网打尽。只剩下中间一个尖刺，它是你的脑袋的位
置，没法消除。不过这样的结果就是让Comb 从Dirac阵列还原成了Dirac Delta本身，然
后人们就可以容易的回避他了……”尽管Gauss的话太学术了，不过到了紧要关头，Sinc
和Bessel也只能忍耐一下这枯燥而准确的语言。

Sinc咽了一下口水，我原来有这个使命，还是命中注定圣战中的the one，心里紧张啊。
Bessel也觉得Sinc这个行动太危险了，万一没对准反被Comb搞定的话还不如逃命。

Bessel瞅着Sinc，对Gauss说，“让我上，我的模样和Sinc很像的。”

Gauss说，“唉，钦佩你的勇气，但是遗憾的是，Bessel小姐，你的零点并不是等间距的
，没法一下把Comb这个可恶的怪物消灭。”

Sinc还是很疑惑，“究竟谁会使用这个早已失传的乘积魔法呢？”“难道你不会么？到这
个时候就别隐瞒了啊，不是有不少人说你……”“虽然有流言，但那是瞎话，我一点也不
信呢。这可怎么办，书里写了怎么用么？”

Gauss眼中一亮“而我的确会啊……我教给你……”镇长，胖归胖，看来的确是有些手段
的……

就这样，镇长把魔法的咒语和要领教给了Sinc，然后和Bessel一起仔细丈量调整Sinc的衣
服，也就是零点的位置。当调整到没有任何误差后，Bessel给了Sinc最好的祝福。


Functia (3)

Functia处在前所未有的危机中，Sinc在Gauss的指导下担负起了降伏Comb这个尖刺军团怪物
的重任，即将出征。正当他们转身要走时，只见Sinc的好友Lambda在Gauss家外的小路上，
也正要匆匆离去。原来Lambda跟着他们一起来，听到了乘积魔法的使用方法。而且他自己的
零点，和Sinc是一模一样的，所以他自己调整尺寸以后要代替好友去迎敌了。Sinc看到Lamb
da的衣服如自己一样前所未有的整齐，就知道事情不妙，要追赶已经来不及，Lambda一溜烟
跑远了，毕竟Lambda比Sinc瘦一点。据说Lambda快速跑动的时候，另一面的人看到他三角形
的一面，相位在极速变化。

镇上的居民们看见Lambda冲向了逼近小镇的怪物Comb，边奔跑边对准，边准备念咒语施魔法
。Comb其实也在准备施魔法了，只是因为他的身体只有尖刺，所以看不到他念咒语的样子。
就在他们相遇的刹那，“MULTIPLICARE！”两人同时喊出咒语用出了魔法。
结果，真的相乘了，由于两人的魔法都生效，他们融为一体，只剩下一个乘积functian。乘
积就是Dirac Delta，一根尖刺，光杆一根！Lambda成功把一个阵列还原成了一根尖刺了。D
elta看到自己的模样，多少年的功夫全都白费，关键还是见到有人也使出了乘积魔法，不禁
怒气冲天，独自像小镇冲来。

这显然已经是不理智的举动了，因为他虽然头仍然很尖，杀伤范围却也很小，而且现在不是
偷袭了。这回正赶上Sinc在路上等他，Delta冲过来，Sinc侧身变成矩形闪过他。Delta反到
把自己常函数的一面暴露出来，“MULTIPLICARE！”Sinc立刻使用乘积魔法，一道光闪过，
Delta也被变成了矩形的模样，和Sinc一模一样。

Delta没了尖头，仿佛老虎被拔掉了牙齿，立刻失去了斗志。居民一拥而上，Delta还没来得
及念咒语就被制服了。

敌人被消灭了，可是Lambda和Comb融为一体成为新的Delta，旅行家Trapez和大力士Laplac
e都受伤了。该怎么办呢？Gauss又出来指挥，要让Sinc帮忙了。Sinc变成了矩形，调整好尺
寸，对着Trapez的侧面，就是那个像人形拉花的无穷的队伍使出乘积魔法，滤掉了所有的副
本，只剩下原本的一个身体，这样Trapez基本上就恢复了原来的样子。唯一的缺憾是Trape
z那个形态原本无限长的衣角被滤掉，造成了一点影响，梯形的样子也不是完美的梯形了，
有点像笔挺的衣服被弄皱了。接着Sinc对Laplace做了同样的治疗，使他也基本复原。
最后面对已经变成矩形的Delta，他其实是恶魔Comb和好友Lambda的融合体，Sinc还希望做
点什么。Gauss建议他用两个矩形卷积来恢复Lambda的三角形外貌。Sinc说，“好吧，我也
希望能这样。你一定也会卷积魔法吧，肯教给我么？”Gauss笑道“你是镇上的英雄了，我
怎么可能不肯教给你。但是你实际上已经会了啊，只要先转身，再乘积，然后再转身就是卷
积魔法了啊……”“原来是这样！”Sinc这样做了，他又看到了Lambda的三角脑袋。Delta
的意志似乎已经从那个躯壳中淡出，Lambda在好友Sinc的反复操作下控制住了这个身体。至
此，一切问题都被解决了，友谊万岁。

第二天，新生代英雄Sinc应邀来到Gauss家。Gauss对他说，他考虑要退休了，要Sinc来当这
个镇长。Gauss是大家心中典范的functian，有诸多美好的品质，比如转身也没变化（也有
人说这不好），比如方差给定时熵最大。就像圆形是平面国Flatland里当之无愧的国王一样
，Gauss也是Functia当之无愧的镇长。他要退休，这怎么让人接受呢？Gauss看着外面，对S
inc娓娓道来，“很久以前我也和大伙一样，有这样那样的特点和缺点，身上有点不连续啊
，有点不可导之类的地方。这其实也没什么，人人都是这样的。后来我找到了一本古书，其
中记载了乘积魔法，以及用它来卷积的方法。虽然知道这是很危险的招数，但是我还是好奇
的在我自己身上试验，一次一次的对着镜子和自己卷积。最终的结果，经过数不清的试验，
我就变成了现在的样子，得到了很多崇拜，也凭着许多知识当了镇长。其实我并非天生特别
……可是你知道未来会变成什么样的么？”

“未来？”这个词Sinc自然是懂得的，但却从没想过。因为Functia的生活如此悠闲自在，
没人需要真正希望以后会 变 成 什么其他的样子。

“未来，将会有一天，怪物Comb将会再次来袭。那时候，每一个连续的functian都会被采样
，变成尖刺组成的形状，转身后的样子都会是一个无穷长的队列。不仅如此，这个无穷长的
队列还会再次被采样，所以在原来的方向上，尖刺组成的形状也会被复制无数份排列起来。
这样无论从那个角度看，就都是无数个尖刺了，还反复周期性得排列起来，而人们只关心我
们在一个周期内的样子……”Sinc虽然不能完全理解，但也实在听不下去了，这就是我们fu
nctians的未来么？我们都会变成Comb那种鬼样子？

“但是只要你Sinc还在，我们就还有希望……你是一把钥匙，只要你去使用乘积，卷积的魔
法，我们的原形就能恢复。许多人都能做类似的事，Trapez，Bessel，Butterworth，甚至
我也可以，但是谁的天赋都没有你好，毕竟你是一个理想的滤波器啊……所以你可以照顾好
Functia所有的人，渡过那段黑暗无比的 离散化 的未来。这股浪潮一来，我这个Gauss的身
躯就是一点用都没有了啊，所以我想让你当镇长……”

Sinc从没想过自己或是傻而方的身体，或是上下翻腾的衣角有这么重要的使命，“能拯救所
有被采样的functian？”但是想想可怕的怪物Comb，想想Gauss的话“将会有一天，每一个
连续的functian都会被采样”，感到能维持或者恢复现在和睦的生活，对任何人，都是最好
的事情。其实他心里还是更想让Gauss在位，因为Gauss几乎成了这安宁生活的一个象征，而
自己上任，其实意味着灾难和拯救。

当天下午进行了全体functian投票。新英雄Sinc全票当选镇长，他是唯一的候选人。
（完）