变分法(variational calculus)

变分法(variational calculus)

 

最优化问题往往要求函数的极值即找到x₀，f(x₀)=min。而变分法为了求一个模型的极值，即这个模型可以有很多函数满足它的约束，现在要找一个函数，在该函数处，这个模型达到极值。L(f₀) = min

函数的函数叫functional，即这里的模型L

 

Euler differential equation of the variational calculus: [2]

y = y(x);

求 L(y) = 的极小值

得出的结果是 。只要满足该式，就找到了使L达到极小的y。

证明方法：法一：给y一个扰动，可参考[2]wiki

          法二：泰勒展式

 

更复杂的情况有：高阶(y’’,y’’’…)，多函数(y₁,y₂…)，多变量(y(x₁,x_2,…))

 

Side conditions

可给函数加入其他约束，Integral Constraints，Algebraic Constraints

 

Reference

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[3]