CONTENT: 这几天分析一软件，发现其序列号用到了Twofish 加密算法，上网找了很久
都没有找到相应的中文资料，于是决定等我研究明白之后写一篇文档，以便
给今后需要使用Twofish 的人以参考，下面进入正题。
首先介绍一下Twofish 的历史，如果您只想了解如何运用此算法，请直
接跳到下一段。在1972到1974年中，National Bureau of Standards (现在
更名为National Institute of Standards and Tecnology，缩写为NIST)首
次公开征求一种标准的数据加密算法，结果产生了 DES ( Data Encryption
Standard) 加密算法。但DES 的密钥长度对于现在计算机的运行速度来说，
在某些高机密的场合显得有点不足，已经不再安全。所以1999年NIST决定采
用一种更高标准的加密算法AES (Advanced Encryption Standard)来代替原
来的DES。首先这种加密算法必须是块加密 (block cipher)，因为块加密可
以被用来对数据流进行加密，也可以被用来制造一些专用的数据加密设备。
其次，这种加密算法必须使用更长的密钥，更大的加密块，更高的加密速度，
更高的灵活性。Twofish 则是counterpane 公司向NIST提交的一种满足AES
要求的加密算法。Twofish 采用128位数据块(128 bits block)，128- 192-
256-bit 可变长度密钥。Twofish 算法是进入NIST第二轮 5种加密算法中的
一种。下面分步详细讲解如何使用Twofish 加密算法。
现在网上能找到的大部分Twofish 的源程序都是外国人写的，还可以找
到有一些 Twofish SDK。但它们普遍代码庞大，使用起来都不太方便，不如
根据自己的需要，自己写一个代码。我写了一个可以用Twofish 进行加密解
密的代码，才不过 400行，所以在看下面的文章之前，你首先要对自己有信
心，因为其中用到了一些数学知识。你也可以参考Twofish 的官方文档：
其中 paper-twofish-paper.pdf 有 68页，全英文，还不如看我这篇文章来
的快，呵呵，不过你可以把它与本文互相参照着看。
Twofish 加密算法的流程图如下：
┌───────────────────────────────┐
│ P (128 bits) │
└┬───┬─────────────────────┬───┬┘
│ │ │ │
⊙←K0 ⊙←K1 <- input whitening -> K2→⊙ K3→⊙
│ │ │ │
│ │┌┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┐ │ │
│ │┆F ┆ │ │
│ │┆┌┄┄┄┄┄┄┄┄┄┐ ┆ │ <<1│
│ │┆┆g ┆ K(2r+8)┆ │ │
│ │┆┆ ┌─┐┆ │┆ │ │
│ │┆┆ ┌S-box0->│ │┆┌┄┄┄┐ │┆ │ │
│ │┆┆ ├S-box1->│M │┆┆ PHT ┆ ↓┆ ↓ │
├───┼┼┼→│ │D ├┼┼→⊙┬┼→⊙┼→⊙ │
│ │┆┆ ├S-box2->│S │┆┆ ↑│┆ ┆ │ │
│ │┆┆ └S-box3->│ │┆┆ ││┆ ┆ │ │
│ │┆┆ └─┘┆┆ ││┆ ┆ │ │
│ │┆└┄┄┄┄┄┄┄┄┄┘┆ ││┆ ┆ │ │
│ │┆┌┄┄┄┄┄┄┄┄┄┐┆ ││┆ ┆ │ │
│ │┆┆g ┆┆ ││┆ ┆ │ │
│ │┆┆ ┌─┐┆┆ ││┆ ┆ │ │
│ │┆┆ ┌S-box0->│ │┆┆ ││┆ ┆ │ │
│ │┆┆ ├S-box1->│M │┆┆ ││┆ ┆ │ ↓
│ <<8├┼┼→│ │D ├┼┼─┴⊙┼→⊙┼─┼──→⊙
│ │┆┆ ├S-box2->│S │┆┆ ┆ ↑┆ │ │
│ │┆┆ └S-box3->│ │┆└┄┄┄┘ │┆ │ │
│ │┆┆ └─┘┆ │┆ │ │
│ │┆└┄┄┄┄┄┄┄┄┄┘ K(2r+9)┆ │ │
│ │└┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┘ │>>1 │
│ │ │ │
│ └─────────┐ ┌────────┘ │
│ ? ? │
└─────────────┐ ? ┌────────────┘
? ?
┌─────────────┘ ? └────────────┐
│ ┌──────────┘└─────────┐ │
... ... 15 more rounds ... ...
│ └─────────┐ ┌────────┘ │
│ ? ? │
└─────────────┐ ? ┌────────────┘
? ?
┌─────────────┘ ? └────────────┐
│ ┌──────────┘└─────────┐ │
↓ ↓ ↓ ↓
⊙←K4 ⊙←K5 <- output whitening -> K6→⊙ →K7⊙
↓ ↓ ↓ ↓
┌───────────────────────────────┐
│ C (128 bits) │
└───────────────────────────────┘
怎么样？看完之后有点晕了吧？里面有很多英文的术语，我不知道对应
的中文怎么说，所以索性下面的术语就直接都用英文的好了。在讲解每一步
具体如何计算之前我们先做一些准备工作，说明一下其中字母各代表什么。
其中开始处 P(plain text)表示需要进行加密的 128-bit数据，也即16字节。
然后将这16字节分为 4组，每组32-bit，即 4字节。在循环之前首先对这 4
组数据分别用K0 K1 K2 K3进行异或操作，称之为input whitening，然后对
异或后的数据分组进行计算。计算后将 1-3 2-4组的数据对换，如此循环15
次，再 1-3 2-4对换一次。对这 4组数据分别用 K4 K5 K6 K7异或操作，称
之为 output whitening。最后将这 4组数据组合成 16字节的数据，也就是
最后的密文 C(cipher text)，长度跟加密前的 P同样是128-bit。下面详细
说明每一计算步骤。
1.计算前的准备工作
加密前的plain text是128 bits，也就是16 bytes。假设这16 bytes分
别是p0, ... ,p15。用little-endian conversion (如果你不明白，可以参
看我的blog中的的一篇相关文章)，将p0, ... ,p15分为 4组：
P(i) = ∑p(4i+j)2^(8j)，其中i,j = 0, ... ,3
2.Input whitening
R(0,i) = P(i) xor K(i)，其中i = 0, ... ,3
这里的K(i)是跟据密钥算出来的32-bit数据，计算方法后面介绍。
3.16次循环
在16次循环的每一次中， 4组数据的前两组与当前循环次数通过 F进行
计算，计算出 2组数据。第 3组数据与计算出的第 1组数据异或，然后向右
循环移动一位。第 4组数据向左循环移动一位，然后异或计算出的第 2组数
据。然后将 1-3 2-4组数据对换，作为下一轮计算的数据。程序表示如下：
(F(r,0), F(r,1)) = F(R(r,0), R(r,1), r)
R(r+1,0) = ROR(R(r,2) xor F(r,0), 1)
R(r+1,1) = ROL(R(r,3), 1) xor F(r,1)
R(r+1,2) = R(r,0)
R(r+1,3) = R(r,1)
4.Output whitening
C(i) = R(16,(i+2) mod 4) xor K(i+4)，其中i = 0, ... ,3
这里的K(i+4)同样是根据密钥计算出来的32-bit数据，目前为止总共有
K(i) i = 0, ... ,7
5.计算后组成密文
c(i) = [C(i/4) / 2^(8(i mod 4))] mod 2^8，其中i = 0, ... ,15
这样，128-bit的C就计算出来了。
前面的K(i)和函数 F还没有说明，下面先介绍函数 F。
1. The Function F
(F0, F1) = F(R0, R1, r)
其中参数R0, R1是32-bit 数据，r表示当前循环的次数，T0，T1是计算
出的结果，同样都是32-bit 的数据。
T0 = g(R0)
T1 = g(ROL(R1, 8))
F0 = (T0 + T1 + K(2r+8)) mod 2^32
F1 = (T0 + 2T1 + K(2r+9)) mod 2^32
其中后两步计算被称为 PHT(Pseudo-Hadamard Transforms)。
这里K(i) i = 8, ... 39，加上前面的i = 0, ... ,7，所以总共有40个K
K(i) i = 0, ... ,39
我们仍然先不讲如何计算K，而先介绍函数 g。
2. The Function g
Z = g(X)
函数 g是Twofish 算法的核心，也是比较难理解的一部分。其中参数 X
与计算结果 Z都是32-bit的数据。
x(i) = [X/2^(8i)] mod 2^8，其中i = 0, ... ,3
y(i) = s(i)(x(i)) ，其中i = 0, ... ,3
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│z0│ │ │ │y0│
│z1│= │MDS│・│y1│
│z2│ │ │ │y2│
│z3│ │ │ │y3│
└ ┘ └ ┘ └ ┘
Z = ∑z(i)2^(8i)，其中i = 0, ... ,3
首先将32-bit的参数 X分为 4个字节x0, ... ,x4，然后每一个x(i) 分
别进入自己的S-box，其中每一个S-box 都是8-bit输入， 8-bit输出。这样
计算出来的 y(i)仍然是 8-bit，组成一个4 * 1的列向量，这个向量与定义
在GF(2^8)上的4*4 MDS矩阵相乘，得到 4*1的列向量。最后将这个列向量中
的四个元素组成32-bit数据 Z。其中 MDS矩阵为：
┌ ┐
│01 EF 5B 5B│
MDS = │5B EF EF 01│
│EF 5B 01 EF│
│EF 01 EF 5B│
└ ┘
为了数据的计算，还必须明确定义GF，对于MDS 矩阵，GF的定义如下：
GF(2^8) ≡ GF(2)(x)/v(x)，其中v(x) = x^8 + x^6 + x^5 + x^3 + 1
又不太明白了吧？上面不太容易理解的地方有两处，一个是 S-boxes，一个
是在有限域GF上如何进行计算。对于前一个问题，我们将会在下面进行介绍，
对于后一个问题，我将会专门写一篇在有限域上进行计算的文章，如果你感
兴趣可以去我的blog。
我们再总结一下吧，目前还有哪些问题没有解决：
K(i)，i = 0, ... ,39
s(i)()，i = 0, ... ,3
以上这两组数据都是通过密钥计算出来的 (key-dependent)，所以下面我们
该介绍一下密钥了。
3. The Key Schedual
在这一部分，我们需要产生40 个与密钥相关的K(i)，和4个与密钥相关
的，在函数 g中使用到的 S-box，也就是s(i)()。
在Twofish 算法中，规定密钥的长度 N = 128, N = 192, N = 256三种。
也就是说密钥的长度可以在128-bit ~ 256-bit之间变化。
我们记 k = N / 64 (则k = 2, 3, 4)，那么密钥 M也就由 8k个字节组
成。我们记这 8k个字节为：
m0, ... ,m(8k-1)
首先将这 8k 个字节转换成 2k 个 32-bit 的数据：
M(i) = ∑m(4i+j)2^(8j)，其中j = 0, ... ,3，i = 0, ... ,2k-1
然后由这 2k 个32-bit 数据构成两个 k维的向量：
Me = (M0, M2, ... ,M(2k-2))
Mo = (M1, M3, ... ,M(2k-1))
下面再利用m(i)产生一个 k维的向量：
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│s(i,0)│ │ │ │m(8i) │
│s(i,1)│= │R│・│m(8i+1)│
│s(i,2)│ │S│ │ ......│
│s(i,3)│ │ │ │m(8i+7)│
└ ┘ └ ┘ └ ┘
其中RS是定义在GF(2^8)的 4*8阶矩阵。记：
S(i) = ∑s(i,j)2^(8j)，其中j = 0, ... ,3，i = 0, ... ,k-1
这样就有产生了一个 k维向量：
S = (S(k-1), S(k-2), ... ,S0)
注意，这里 S是由S(i)反序组成的。对于RS矩阵，我们同样需要明确定义有
限域GF(2^8)。在这里：
GF(2^8) ≡ GF(2)[x]/w(x)，其中w(x) = x^8 + x^6 + x^3 + x^2 + 1
┌ ┐
│01 A4 55 87 5A 58 DB 9E│
RS = │A4 56 82 F3 1E C6 68 E5│
│02 A1 FC C1 47 AE 3D 19│
│A4 55 87 5A 58 DB 9E 03│
└ ┘
这里定义的Me Mo S构成了 key schedual的基础。
3.1 Additional Key Lengths
这里介绍一下密钥长度的问题。密钥长度必须是小于256 bits的，如果
密钥长度不足上面给丁的 N，那么在密钥后面补零，直到最接近的 N为止。
例如密钥长度是80-bit，则在m0, ... ,m9后面加上：
m(i) = 0，i = 10, ... ,15
这样就构成了一个128-bit的密钥。
3.2 The Function h
你一定觉得奇怪，怎么突然有出来个 h函数，上面明明没有遇到啊？！
呵呵，上面是没有遇到，不过下面就快用到了，而且这个函数很重要。
Z = h(X, L)
其中X, Z是32-bit的数据，L = L(L0, ... ,L(k-1))是一个 k维的向量。
首先我们还是将X, L分成字节：
l(i,j) = [L(i)/2^(8j)] mod 2^8 i = 0, ... ,k-1
x(j) = [X/2^(8j)] mod 2^8 j = 0, ... ,3
我们记：
y(k,j) = x(j) j = 0, ... ,3
如果：k == 4
y(3,0) = q1[y(4,0)] xor l(3,0)
y(3,1) = q0[y(4,1)] xor l(3,1)
y(3,2) = q0[y(4,2)] xor l(3,2)
y(3,3) = q1[y(4,3)] xor l(3,3)
如果：k >= 3
y(2,0) = q1[y(3,0)] xor l(2,0)
y(2,1) = q1[y(3,1)] xor l(2,1)
y(2,2) = q0[y(3,2)] xor l(2,2)
y(2,3) = q0[y(3,3)] xor l(3,3)
对于所有情况：
y0 = q1[q0[q0[y(2,0)] xor l(1,0)] xor l(0,0)]
y1 = q0[q0[q1[y(2,1)] xor l(1,1)] xor l(0,1)]
y2 = q1[q1[q0[y(2,2)] xor l(1,2)] xor l(0,2)]
y3 = q0[q1[q1[y(2,3)] xor l(1,3)] xor l(0,3)]
也就是说，如果k==4，那么上面 3种情况都要做；如果k==3，那么只做后两
种情况；如果k==2，则只计算最后这种情况。
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│z0│ │ │ │y0│
│z1│= │MDS│・│y1│
│z2│ │ │ │y2│
│z3│ │ │ │y3│
└ ┘ └ ┘ └ ┘
Z = ∑z(i)2^(8i)，其中i = 0, ... ,3
最后的矩阵乘法同样遇到 MDS矩阵，GF(2^8)的定义跟前面一样。
h 函数讲完了，但其中又多出来个q0 q1，它们同样是S-boxes，过一会我们
再讲如何计算q0 q1，下面开始介绍如何计算S-boxes与K(i)。
3.3 The Key-dependent S-boxes
我们用下面的映射来定义 g中使用到的 4个S-boxes：
g(X) = h(X, S)
其中S 是上面计算出来的 k维向量。
这样g 中出现的s(i)()就可以用h(X, S)来解决了。
3.4 The Expanded Key Words K(i)
下面介绍如何计算K(i)：
p = 2^24 + 2^16 + 2^8 + 2^0
A(i) = h(2ip, Me)
B(i) = ROL(h((2i+1)p, Mo), 8)
K(2i) = (A(i) + B(i)) mod 2^32
K(2i+1) = ROL((A(i) + 2B(i)) mod 2^32, 9)
这里 i = 0, ... ,19
3.5 The Permutations q0 and q1
q0 q1是有256个元素的数组，数组中的元素是 8-bit的。它们的构成方
法如下：
a0, b0 = [x/16], x mod 16
a1 = a0 xor b0
b1 = a0 xor ROR(b0, 1) xor 8a0 mod 16
a2, b2 = t0[a1], t1[b1]
a3 = a2 xor b2
b3 = a2 xor ROR(b2, 1) xor 8a2 mod 16
a4, b4 = t2[a3], t3[b3]
y = 16b4 + a4
这里a(i) b(i)都是4-bit的，其中的ROR运算也是4-bit的。这样利用上面的
公式，就将一个16-bit的x 映射到一个16-bit的 y，我们把当x = i 的时候
y的值定义为q[i]，这样当x = 0, ... 255时，也就求出了q[i]中的256个元
素。对于q0 q1，上述公式中的t0 t1 t2 t3分别定义如下：
对于q0：
t0 = [8 1 7 D 6 F 3 2 0 B 5 9 E C A 4]
t1 = [E C B 8 1 2 3 5 F 4 A 6 7 0 9 D]
t2 = [B A 5 E 6 D 9 0 C 8 F 3 2 4 7 1]
t3 = [D 7 F 4 1 2 6 E 9 B 3 0 8 5 C A]
对于q1：
t0 = [2 8 B D F 7 6 E 3 1 9 4 0 A C 5]
t1 = [1 E 2 B 4 C 3 7 6 D A 5 F 9 0 8]
t2 = [4 C 7 5 1 6 9 A 0 E D 8 2 B 3 F]
t3 = [B 9 5 1 C 3 D E 6 4 7 F 2 0 8 A]
这样，Twofish 算法的全部计算过程我就讲完了，其中说的不够详细的地方
大家可以参看官方的文档，或者网上下载的源程序。这篇文章中有几处没有
详细说明：
1.如何根据定义g(X) = h(X, S)求出相应的S-boxes
2.如何在有限域GF(2^8)上进行矩阵运算
其实上面这两个问题都是关于有限域(finite field)的，如果直接按照
定义去计算，运算过程十分复杂。但 MDS与 RS 矩阵都有各自的特点，所以
在写程序的时候可以将运算化简。对于 Twofish算法中，有限域的更进一步
讨论我将再专门写一篇文章，有兴趣的朋友可以关注一下我的blog。
另外我要说是，在 Twofish算法中，可以使用几种加密模式，例如：
ECB (electronic code book)
CBC (cipher block chain)
等等，如果我有精力继续写文档我会不定期的发布在我的blog上，最后再贴
一下我的blog，算是一个小小的宣传，呵呵：
http://lionel.blogchina.com 欢迎大家去我的blog继续讨论。
