在从1到n的正数中1出现的次数

题目：输入一个整数n，求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。

例如输入12，从1到12这些整数中包含1 的数字有1，10，11和12，1一共出现了5次。

分析：这是一道广为流传的google面试题。用最直观的方法求解并不是很难，但遗憾的是效率不是很高；而要得出一个效率较高的算法，需要比较强的分析能力，并不是件很容易的事情。当然，google的面试题中简单的也没有几道。

首先我们来看最直观的方法，分别求得1到n中每个整数中1出现的次数。而求一个整数的十进制表示中1出现的次数，就和本面试题系列的第22题很相像了。我们每次判断整数的个位数字是不是1。如果这个数字大于10，除以10之后再判断个位数字是不是1。基于这个思路，不难写出如下的代码：

int NumberOf1(unsigned int n);

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// Find the number of 1 in the integers between 1 and n
// Input: n - an integer
// Output: the number of 1 in the integers between 1 and n
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int NumberOf1BeforeBetween1AndN_Solution1(unsigned int n)
{
      int number = 0;

      // Find the number of 1 in each integer between 1 and n
      for(unsigned int i = 1; i <= n; ++ i)
            number += NumberOf1(i);

      return number;
}

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// Find the number of 1 in an integer with radix 10
// Input: n - an integer
// Output: the number of 1 in n with radix
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int NumberOf1(unsigned int n)
{
      int number = 0;
      while(n)
      {
            if(n % 10 == 1)
                  number ++;

            n = n / 10;
      }

      return number;
}

这个思路有一个非常明显的缺点就是每个数字都要计算1在该数字中出现的次数，因此时间复杂度是O(n)。当输入的n非常大的时候，需要大量的计算，运算效率很低。我们试着找出一些规律，来避免不必要的计算。

我们用一个稍微大一点的数字21345作为例子来分析。我们把从1到21345的所有数字分成两段，即1-1235和1346-21345。

先来看1346-21345中1出现的次数。1的出现分为两种情况：一种情况是1出现在最高位（万位）。从1到21345的数字中，1出现在10000-19999这10000个数字的万位中，一共出现了10000（10⁴）次；另外一种情况是1出现在除了最高位之外的其他位中。例子中1346-21345，这20000个数字中后面四位中1出现的次数是2000次（2*10³，其中2的第一位的数值，10³是因为数字的后四位数字其中一位为1，其余的三位数字可以在0到9这10个数字任意选择，由排列组合可以得出总次数是2*10³）。

至于从1到1345的所有数字中1出现的次数，我们就可以用递归地求得了。这也是我们为什么要把1-21345分为1-1235和1346-21345两段的原因。因为把21345的最高位去掉就得到1345，便于我们采用递归的思路。

分析到这里还有一种特殊情况需要注意：前面我们举例子是最高位是一个比1大的数字，此时最高位1出现的次数10⁴（对五位数而言）。但如果最高位是1呢？比如输入12345，从10000到12345这些数字中，1在万位出现的次数就不是10⁴次，而是2346次了，也就是除去最高位数字之后剩下的数字再加上1。

基于前面的分析，我们可以写出以下的代码。在参考代码中，为了编程方便，我把数字转换成字符串了。

#include "string.h"
#include "stdlib.h"

int NumberOf1(const char* strN);
int PowerBase10(unsigned int n);

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// Find the number of 1 in an integer with radix 10
// Input: n - an integer
// Output: the number of 1 in n with radix
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int NumberOf1BeforeBetween1AndN_Solution2(int n)
{
      if(n <= 0)
            return 0;

      // convert the integer into a string
      char strN[50];
      sprintf(strN, "%d", n);

      return NumberOf1(strN);
}

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// Find the number of 1 in an integer with radix 10
// Input: strN - a string, which represents an integer
// Output: the number of 1 in n with radix
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int NumberOf1(const char* strN)
{
      if(!strN || *strN < '0' || *strN > '9' || *strN == '\0')
            return 0;

      int firstDigit = *strN - '0';
      unsigned int length = static_cast<unsigned int>(strlen(strN));

      // the integer contains only one digit
      if(length == 1 && firstDigit == 0)
            return 0;

      if(length == 1 && firstDigit > 0)
            return 1;

      // suppose the integer is 21345
      // numFirstDigit is the number of 1 of 10000-19999 due to the first digit
      int numFirstDigit = 0;
      // numOtherDigits is the number of 1 01346-21345 due to all digits
      // except the first one
      int numOtherDigits = firstDigit * (length - 1) * PowerBase10(length - 2);
      // numRecursive is the number of 1 of integer 1345
      int numRecursive = NumberOf1(strN + 1);

      // if the first digit is greater than 1, suppose in integer 21345
      // number of 1 due to the first digit is 10^4. It's 10000-19999
      if(firstDigit > 1)
            numFirstDigit = PowerBase10(length - 1);

      // if the first digit equals to 1, suppose in integer 12345
      // number of 1 due to the first digit is 2346. It's 10000-12345
      else if(firstDigit == 1)
            numFirstDigit = atoi(strN + 1) + 1;

      return numFirstDigit + numOtherDigits + numRecursive;
}

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// Calculate 10^n
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int PowerBase10(unsigned int n)
{
      int result = 1;
      for(unsigned int i = 0; i < n; ++ i)
            result *= 10;

      return result;
}