求无序数组的中位数

转自: 求无序数组的中位数

中位数即是排过序后的处于数组最中间的元素。 不考虑数组长度为偶数的情况。设集合元素个数为n。

简单的想了下：
思路1） 把无序数组排好序，取出中间的元素
            时间复杂度 采用普通的比较排序法 O(N*logN)
            如果采用非比较的计数排序等方法， 时间复杂度 O(N), 空间复杂度也是O(N).

思路2） 
          2.1）将前(n+1)/2个元素调整为一个小顶堆，
          2.2）对后续的每一个元素，和堆顶比较，如果小于等于堆顶，丢弃之，取下一个元素。 如果大于堆顶，用该元素取代堆顶，调整堆，取下一元素。重复2.2步           
          2.3）  当遍历完所有元素之后，堆顶即是中位数。

思路3） 熟话说，想让算法跑的更快，用分治！
            快速排序之所以得名"快排",绝非浪得虚名！因为快排就是一种分治排序法！
            同样，找中位数也可以用快排分治的思想。具体如下：
            任意挑一个元素，以改元素为支点，划分集合为两部分，如果左侧集合长度恰为 (n-1)/2，那么支点恰为中位数。如果左侧长度<(n-1)/2, 那么中位点在右侧，反之，中位数在左侧。 进入相应的一侧继续寻找中位点。
            这种方法很快，但是在最坏的情况下时间复杂度为O(N^2), 不过平均时间复杂度好像是O(N)。

思路4) 快排的方法存在不确定性,导致其最坏和最好的时候差别很大, 那么有没有一种确定性的方法呢? 答案是有的
            貌似算法导论里有讲到. 这里我就先不深究了, 可以参考如下的文章, 
            O(n)时间快速选择
            
            以及本文的别人的评论

引申一：
查找N个元素中的第K个小的元素（来自编程珠玑）

编程珠玑给出了一个时间复杂度O（N），的解决方案。该方案改编自快速排序。
经过快排的一次划分，
   1）如果左半部份的长度>K-1，那么这个元素就肯定在左半部份了
   2）如果左半部份的长度==K-1，那么当前划分元素就是结果了。
   3）如果。。。。。。。   并且，该方法可以用尾递归实现。效率更高。

时间复杂度分析， 由于差不多每次都是把序列划分为一半。。。假设划分的元素做了随机优化，时间复杂度近似于
N+N/2+N/4.... = 2N*(1-2^-(logN)) 当N较大时 约等于 2N 也就是 O（N）。

看来，快速排需的用处可大着咧。。。

也用来查找可以N个元素中的前K个小的元素，前K个大的元素。。。。等等。

引申二：
查找N个元素中的第K个小的元素，假设内存受限，仅能容下K/4个元素。
分趟查找，
第一趟，用堆方法查找最小的K/4个小的元素，同时记录剩下的N-K/4个元素到外部文件。
第二趟，用堆方法从第一趟筛选出的N-K/4个元素中查找K/4个小的元素，同时记录剩下的N-K/2个元素到外部文件。
。。。
第四趟，用堆方法从第一趟筛选出的N-K/3个元素中查找K/4个小的元素，这是的第K/4小的元素即使所求。