Matlab中几个数值积分函数的比较和优缺点

一、Z = trapz(X,Y,dim)
梯形数值积分，通过已知参数x,y按dim维使用梯形公式进行积分

例1 计算int(sin(x),0,pi)

%by dynamic
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>>x=0:pi/100:2*pi;
>>y=sin(x);
>>z=trapz(x,y)%或者说使用z = pi/100*trapz(y)
z =

1.0300e-017

>>z = pi/100*trapz(y)

二、[q,fcnt]= quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2...)
自适应simpson公式数值积分，适用于精度要求低，被积函数平滑性较差的数值积分

注意事项：
1.被积函数fun必须是函数句柄
2.积分限[a,b]必须是有限的，因此不能为inf
3.p1为其他需要传递的参数，一般是数值

可能警告：
1.'Minimum step size reached'
意味着子区间的长度与计算机舍入误差相当，无法继续计算了。原因可能是有不可积的奇点
2.'Maximum function count exceeded'
意味着积分递归计算超过了10000次。原因可能是有不可积的奇点
3.'Infinite or Not-a-Number function value encountered'
意味着在积分计算时，区间内出现了浮点数溢出或者被零除。

例2 计算积分1/(x^3-2*x-p)，其中参数p=5，积分区间为[0,2]

%by dynamic
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>>F = @(x,n)1./(x.^3-2*x-n);
>>Q = quad(@(x)F(x,5),0,2)%或者使用 quad(F,0,2,[],[],5)效果是一样的，只是前者使用的函数嵌套

Q =

-0.4605

>>quad(F,0,2,[],[],5)

ans =

-0.4605

三、[q,fcnt] = quadl(fun,a,b,tol,trace,p1,p2...)
自适应Lobatto数值积分，适用于精度要求高，被积函数曲线比较平滑的数值积分

注意事项：
同quad

可能警告：
同quad

例3 计算积分1/(x^3-2*x-p)，其中参数p=5，积分区间为[0,2]

%by dynamic
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>>F=@(x,p)1./(x.^3-2*x-p);
>>Q = quadl(F,0,2,[],[],5)%或者Q = quadl(@(x)F(x,5),0,2)

Q =

-0.4605

四、[q,errbnd] = quadgk(fun,a,b,param1,val1,param2,val2,...)
自适应Gauss-Kronrod数值积分，适用于高精度和震荡数值积分，支持无穷区间，并且能够处理端点包含奇点的情况，同时还支持沿着不连续函数积分，复数域线性路径的围道积分法

注意事项：
1.积分限[a,b]可以是[-inf,inf]，但必须快速衰减
2.被积函数在端点可以有奇点，如果区间内部有奇点，将以奇点区间划分成多个，也就是说奇点只能出现在端点上
3.被积函数可以剧烈震荡
4.可以计算不连续积分，此时需要用到'Waypoints'参数，'Waypoints'中的点必须严格单调
5.可以计算围道积分，此时需要用到'Waypoints'参数，并且为复数，各点之间使用直线连接
6.param,val为函数的其它控制参数，比如上面的'waypoints'就是，具体看帮助

出现错误：
1.'Reached the limit on the maximum number of intervals in use'
2.'Infinite or Not-a-Number function value encountered'

例4 计算有奇点积分int(exp(x)*log(x),0,1)

%by dynamic
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>>F=@(x)exp(x).*log(x);%奇点必须在端点上，否则请先进行区间划分
>>Q = quadgk(F,0,1)

Q =

-1.3179

例5 计算半无限震荡积分int(x^5*exp(-x)*sin(x),0,inf)

%by dynamic
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>>F=@(x)x.^5.*exp(-x).*sin(x);
>>fplot(F,[0,100])%绘图，看看函数的图形
>>[q,errbnd] = quadgk(F,0,inf,'RelTol',1e-8,'AbsTol',1e-12)%积分限中可以有inf，但必须快速收敛

q =

-15.0000


errbnd =

9.4386e-009

例6 计算不连续积分，积分函数为f(x)=x^5*exp(-x)*sin(x)，但是人为定义f(2)=1000，f(5)=-100，积分区间为[1 10]

%by dynamic
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>>F=@(x)x.^5.*exp(-x).*sin(x);
>>[q,errbnd] = quadgk(F,1,10,'Waypoints',[2 5])%显然2，5为间断点

q =

-10.9408


errbnd =

3.2296e-014

例7 计算围道积分，在复数域内，积分函数1/(2*z-1)，积分路径为由[-1-i 1-i 1+i -1+i -1-i]围成的矩形边框

%by dynamic
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>>Waypoints=[-1-i 1-i 1+i -1+i -1-i];
>>plot(Waypoints);%绘制积分路径
>>xlabel('Real axis');ylabel('Image axis');axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5]);grid on;
>>Q = quadgk(@(z)1./(2*z - 1),-1-i,-1-i,'Waypoints',[1-i,1+i,-1+i])%注意各点间使用直线连接

ans =

0.0000 + 3.1416i

>> quadgk(@(z)1./(2*z - 1),-1-i,-1-i,'Waypoints',Waypoints)%使用这个的效果也是一样的，就是说始末点可以随便包不包含在Waypoints中

ans =

0.0000 + 3.1416i

五、[Q,fcnt] = quadv(fun,a,b,tol,trace)
矢量化自适应simpson数值积分

注意事项：
1.该函将quad函数矢量化了，就是一次可以计算多个积分
2.所有的要求完全与quad相同

例8 计算下面积分，分别计算n=1,2...,5时的5个积分值，被积函数1/(n+x)，积分限为[0,1]

%by dynamic
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>>for k = 1:5, Qs(k) = quadv(@(x)1/(k+x),0,1);end;Qs

Qs =

0.6931 0.4055 0.2877 0.2231 0.1823

>>F=@(x,n)1./((1:n)+x);%定义被积函数
>>quadv(@(x)F(x,5),0,1)%我们可以完全使用quadv函数替换上面循环语句的，建议使用后者

ans =

0.6931 0.4055 0.2877 0.2231 0.1823

六、q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)
矩形区域二重数值积分，一般区域二重积分参见NIT(数值积分工具箱)的quad2dggen函数

例9 计算下面二重积分

%by dynamic
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>>F = @(x,y)y*sin(x)+x*cos(y);
>Q = dblquad(F,pi,2*pi,0,pi)

Q =

-9.8696

七、q=triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol,method)
长方体区域三重数值积分，注意此时没有一般区域的三重积分

例10 计算下面三重积分

%by dynamic
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>>F = @(x,y,z)y*sin(x)+z*cos(x);
>>Q = triplequad(F,0,pi,0,1,-1,1)

Q =

2.0000

八、超维长方体区域多重积分
quadndg：NIT工具箱函数，可以解决多重超维长方体边界的定积分问题，但没有现成的一般积分区域求解函数


下面总结下：
(1)quad：采用自适应变步长simpson方法，速度和精度都是最差的，建议不要使用
(2)quad8：使用8阶Newton-Cotes算法，精度和速度均优于quad，但在目前版本下已被取消
(3)quadl：采用lobbato算法，精度和速度均较好，建议全部使用该函数
(4)quadg：NIT(数值积分)工具箱函数，效率最高，但该工具箱需要另外下载
(5)quadv：quad的矢量化函数，可以同时计算多个积分
(6)quadgk：很有用的函数，功能在Matlab中最强大
(7)quad2dggen：一般区域二重积分，效率很好，需要NIT支持
(8)dblquad：长方形区域二重积分
(9)triplequadL：长方体区域三重积分
(10)quadndg：超维长方体区域积分，需要NIT支持

NIT数值积分工具箱下载参见这里