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借我三千虎骑,复我浩荡中华!挥戈恒河岸,剑指天山西,碎叶城赏月,贝加尔湖面张弓。库页岛赏雪,中南半岛访古,东京废墟遥祭华夏列祖。汉旗指处,望尘逃遁。敢犯中华天威者-----虽远必诛。

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一、Z = trapz(X,Y,dim)
梯形数值积分,通过已知参数x,ydim维使用梯形公式进行积分

1 计算int(sin(x),0,pi)

%by dynamic
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>>x=0:pi/100:2*pi;
>>y=sin(x);
>>z=trapz(x,y)%
或者说使用z = pi/100*trapz(y)
z =

1.0300e-017

>>z = pi/100*trapz(y)

二、[q,fcnt]= quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2...)
自适应simpson公式数值积分,适用于精度要求低,被积函数平滑性较差的数值积分

注意事项:
1.
被积函数fun必须是函数句柄
2.
积分限[a,b]必须是有限的,因此不能为inf
3.p1
为其他需要传递的参数,一般是数值

可能警告:
1.'Minimum step size reached'
意味着子区间的长度与计算机舍入误差相当,无法继续计算了。原因可能是有不可积的奇点
2.'Maximum function count exceeded'
意味着积分递归计算超过了10000次。原因可能是有不可积的奇点
3.'Infinite or Not-a-Number function value encountered'
意味着在积分计算时,区间内出现了浮点数溢出或者被零除。

2 计算积分1/(x^3-2*x-p),其中参数p=5,积分区间为[0,2]

%by dynamic
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>>F = @(x,n)1./(x.^3-2*x-n);
>>Q = quad(@(x)F(x,5),0,2)%
或者使用 quad(F,0,2,[],[],5)效果是一样的,只是前者使用的函数嵌套

Q =

-0.4605

>>quad(F,0,2,[],[],5)

ans =

-0.4605

三、[q,fcnt] = quadl(fun,a,b,tol,trace,p1,p2...)
自适应Lobatto数值积分,适用于精度要求高,被积函数曲线比较平滑的数值积分

注意事项:
quad

可能警告:
quad

3 计算积分1/(x^3-2*x-p),其中参数p=5,积分区间为[0,2]

%by dynamic
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>>F=@(x,p)1./(x.^3-2*x-p);
>>Q = quadl(F,0,2,[],[],5)%
或者Q = quadl(@(x)F(x,5),0,2)

Q =

-0.4605

四、[q,errbnd] = quadgk(fun,a,b,param1,val1,param2,val2,...)
自适应Gauss-Kronrod数值积分,适用于高精度和震荡数值积分,支持无穷区间,并且能够处理端点包含奇点的情况,同时还支持沿着不连续函数积分,复数域线性路径的围道积分法

注意事项:
1.
积分限[a,b]可以是[-inf,inf],但必须快速衰减
2.
被积函数在端点可以有奇点,如果区间内部有奇点,将以奇点区间划分成多个,也就是说奇点只能出现在端点上
3.
被积函数可以剧烈震荡
4.
可以计算不连续积分,此时需要用到'Waypoints'参数,'Waypoints'中的点必须严格单调
5.
可以计算围道积分,此时需要用到'Waypoints'参数,并且为复数,各点之间使用直线连接
6.param,val
为函数的其它控制参数,比如上面的'waypoints'就是,具体看帮助

出现错误:
1.'Reached the limit on the maximum number of intervals in use'
2.'Infinite or Not-a-Number function value encountered'

4 计算有奇点积分int(exp(x)*log(x),0,1)

%by dynamic
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>>F=@(x)exp(x).*log(x);%
奇点必须在端点上,否则请先进行区间划分
>>Q = quadgk(F,0,1)

Q =

-1.3179

5 计算半无限震荡积分int(x^5*exp(-x)*sin(x),0,inf)

%by dynamic
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>>F=@(x)x.^5.*exp(-x).*sin(x);
>>fplot(F,[0,100])%
绘图,看看函数的图形
>>[q,errbnd] = quadgk(F,0,inf,'RelTol',1e-8,'AbsTol',1e-12)%
积分限中可以有inf,但必须快速收敛

q =

-15.0000


errbnd =

9.4386e-009

6 计算不连续积分,积分函数为f(x)=x^5*exp(-x)*sin(x),但是人为定义f(2)=1000f(5)=-100,积分区间为[1 10]

%by dynamic
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>>F=@(x)x.^5.*exp(-x).*sin(x);
>>[q,errbnd] = quadgk(F,1,10,'Waypoints',[2 5])%
显然25为间断点

q =

-10.9408


errbnd =

3.2296e-014

7 计算围道积分,在复数域内,积分函数1/(2*z-1),积分路径为由[-1-i 1-i 1+i -1+i -1-i]围成的矩形边框

%by dynamic
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>>Waypoints=[-1-i 1-i 1+i -1+i -1-i];
>>plot(Waypoints);%
绘制积分路径
>>xlabel('Real axis');ylabel('Image axis');axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5]);grid on;
>>Q = quadgk(@(z)1./(2*z - 1),-1-i,-1-i,'Waypoints',[1-i,1+i,-1+i])%
注意各点间使用直线连接

ans =

0.0000 + 3.1416i

>> quadgk(@(z)1./(2*z - 1),-1-i,-1-i,'Waypoints',Waypoints)%
使用这个的效果也是一样的,就是说始末点可以随便包不包含在Waypoints

ans =

0.0000 + 3.1416i

五、[Q,fcnt] = quadv(fun,a,b,tol,trace)
矢量化自适应simpson数值积分

注意事项:
1.
该函将quad函数矢量化了,就是一次可以计算多个积分
2.
所有的要求完全与quad相同

8 计算下面积分,分别计算n=1,2...,5时的5个积分值,被积函数1/(n+x),积分限为[0,1]

%by dynamic
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>>for k = 1:5, Qs(k) = quadv(@(x)1/(k+x),0,1);end;Qs

Qs =

0.6931 0.4055 0.2877 0.2231 0.1823

>>F=@(x,n)1./((1:n)+x);%
定义被积函数
>>quadv(@(x)F(x,5),0,1)%
我们可以完全使用quadv函数替换上面循环语句的,建议使用后者

ans =

0.6931 0.4055 0.2877 0.2231 0.1823

六、q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)
矩形区域二重数值积分,一般区域二重积分参见NIT(数值积分工具箱)quad2dggen函数

9 计算下面二重积分

%by dynamic
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>>F = @(x,y)y*sin(x)+x*cos(y);
>Q = dblquad(F,pi,2*pi,0,pi)

Q =

-9.8696

七、q=triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol,method)
长方体区域三重数值积分,注意此时没有一般区域的三重积分

10 计算下面三重积分

%by dynamic
%all rights reserved by www.matlabsky.com
>>F = @(x,y,z)y*sin(x)+z*cos(x);
>>Q = triplequad(F,0,pi,0,1,-1,1)

Q =

2.0000

八、超维长方体区域多重积分
quadndgNIT工具箱函数,可以解决多重超维长方体边界的定积分问题,但没有现成的一般积分区域求解函数


下面总结下:
(1)quad
:采用自适应变步长simpson方法,速度和精度都是最差的,建议不要使用
(2)quad8
:使用8Newton-Cotes算法,精度和速度均优于quad,但在目前版本下已被取消
(3)quadl
:采用lobbato算法,精度和速度均较好,建议全部使用该函数
(4)quadg
NIT(数值积分)工具箱函数,效率最高,但该工具箱需要另外下载
(5)quadv
quad的矢量化函数,可以同时计算多个积分
(6)quadgk
:很有用的函数,功能在Matlab中最强大
(7)quad2dggen
:一般区域二重积分,效率很好,需要NIT支持
(8)dblquad
:长方形区域二重积分
(9)triplequadL
:长方体区域三重积分
(10)quadndg
:超维长方体区域积分,需要NIT支持

NIT数值积分工具箱下载参见这里http://www.matlabsky.com/thread-225-1-2.html

 

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