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2011-03-19 10:22:18

原文的问题是这样的:

因为忙,不少计划写下来的东西都一直搁置着。其中一个拖了很久都没写的就是 UyHiP 一月的题目 了。这是一道看上去非常困难的算法题目,当时我没能解答出来;看到答案后才恍然大悟,拍案叫绝。这是一道非常少见的算法好题,在这里记下来。

    一个国家里有 N 个公民,这些公民从 1 到 N 依次编号。这是一个民主国家,国家做出的每个决定都需要全体公民投票,每个人必须且只能投一票。

    不过,随着该国家人口数量的增加,这种投票方式的效率越来越低。于是,这个国家实行了一种新的民主制度。每过四年,这个国家将会举行一次“代表选举大会”,届时,每个公民都必须且只能提名一个他信得过的人,来作为他自己的代表。注意,提名自己作为自己的代表也是允许的。对于每个被提名了的人,有百分之多少的人提名他,他就拥有了相当于多少张选票的权力(向下取整)。在接下来的四年里,国家要做出某项决定时,就只需要这些代表来参加了。

    比方说,这个国家有 200 个人,在代表选举大会上,有 98 个人提名 1 号公民当代表,有 101 个人提名 2 号公民当代表,有 1 个人提名 200 号公民当代表。结果就是,只有 1 号公民和 2 号公民成为代表,在接下来的四年里参与投票,其中 1 号公民一票当 49 票,2 号公民一票当 50 票。值得注意的是, 200 号公民虽然有提名,但支持率仅 0.5% ,因此他今后四年没有当代表的权力。


    为了支持新的民主政策,你需要设计一套算法,来计算每届代表选举大会结束后,哪些公民成为了代表,他们手中各自有多少票的权力。程序的输入数据来源于一盘磁带。磁带上有 N 个数,分别记录了这 N 个公民各自提名的代表的编号(由于提名是匿名的,磁带上的数据不是顺序的,你无法判断出每个数都是谁的)。程序可以多次读取磁带,但是每次都只能是从头到尾依次读取每一个数。由于这个国家的人数已经增加到了一定规模,因此你的程序必须非常高效。具体地说,你的算法必须要满足以下几点限制:

    1. 你的程序读取磁带的次数要尽可能的少;

    2. 磁带是只读的;

    3. 程序可以在自己的内存里储存变量,不过只能使用 O(1) 个单元的空间(即所耗费的内存空间与 N 无关);

    4. 内存里每个单元的空间只能储存 0 到 N 之间的整数(包括 0 和 N );

    5. 预处理阶段完成后,程序将进入询问阶段,即针对形如“公民 x 获得了多少票的权力”的问题给出回答。一旦预处理完成进入询问阶段后,程序就不能再接触磁带了。

    现在的问题是,在最坏情况下,最少需要读取多少次磁带?给出一个满足要求的算法,并证明读取磁带的次数已经不能再少了。

  看到这里我就突然想起了拼音输入法。最基本的拼音输入法也就是查询词库,要求跟上面的基本相同:读硬盘词库次数尽可能少,词库只读,耗费空间要少,查询要快。除此之外,拼音输入法还要求能够把相同拼音的字或词按照出现频率排序,不断完善升级的词库,包容用户自己建立的词库,词库的词频不断更新;很少人工干预下解决多音字问题(方法就是把多音字的每个音都组成词,没想到好方法),智能整句,智能邻接词(智能我一点思路都没有)。

  抛开输入法,这个问题我想到的一个不符合要求但站得住脚的方法(要求N的大小可以被内存顶住):从磁带读一次,占用的N个空间分别存储这N个公民的选票,根据磁带上面的数据给相应的空间做+1运算。查询时相应空间除以N并向下取整。这个方法空间占用是O(N),但查询速度是O(1)。看完matrix67的解析,我发现他的算法无法使用到拼音输入法,而只能用于选票,我的想法也许可以,思路就暂时打住。

  下面是matrix67给的答案:

    答案:最少需要读取两次磁带。

    首先我们来说明,读取一次磁带是不够的。假设 N 是 100 的某个很大的倍数。磁带前面有 (N/2) + 50 个互不相同的数。磁带后面则又是 50 个不同的数,其中每个数都出现了 (N/100) - 1 次,从而恰好填充满整个磁带。注意,出现了 (N/100) - 1 次就意味着,再多出现一次就能成为代表了。因此正确的输出结果就是,如果这 50 个人中有人正好也在磁带前半部分出现过,则他将获得一票的代表权力。因此,如果程序想要一次读带就完成任务,在读完前 (N/2) + 50 个数之后,它必须要能记住哪些数出现过哪些数没出现过,这显然无法用 O(1) 的空间存下。这就说明,仅用一次磁带是不够的。

    如果允许读磁带两次,我们有下面这个算法。

    首先,通读一遍磁带,同时维护一个“谁谁谁目前都得到了多少次提名”的表(没有被提名的人就不用写进表里了)。为了保证内存空间在常数级别,我们引入“裁减”操作:只要表里的人数达到 100,就让所有代表都减少一个提名。这样的话,必然有人又会变成“零提名”,从而让表里的人数回到 100 以下。每当表里的人数达到 100 时,我们都进行一次裁减操作,除非我们正好处理完最后一个提名。

    现在我们证明,最后没有留在表中的人,都绝不可能成为代表。反证,假设某人得到了 x ≥ N/100 次提名,但最后却没有留在表中。由于一次裁减只能让他失去一个提名,因此读取磁带的过程中至少发生了 x 次裁减。每次裁减都会裁掉 100 个提名,因此整个过程中至少有 100x 个提名被裁掉了。但我们一共就只有 N 个提名,而且最后一个提名是肯定不会被裁掉的,因此 100x 必然严格地小于 N 。这与 x ≥ N/100 矛盾。因此,所有有可能成为代表的人都已经留在表里了。

    接下来就容易了。再从头至尾读一遍磁带,并且记录每个代表真正的提名次数。只不过这一次,我们只为上一轮最后还留在表里的那些人做记录。第二轮磁带读完后,我们便能算出每个代表拥有的权力了。

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