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2011-02-17 08:29:30
于是乎，“订完全部大床房”、“买光影院单号位”、“扎破所有安全套”等经典段子年年少不了。当然，我也没有闲着。为什么有 Geek 式的爱情祝福，就没有 Geek 式的分手诅咒？我计划着创作一个“分手函数”，它的函数图像是一个裂成两半的心。
要制造分手函数，首先要有一个等待被恶搞的心形原型。我所选用的原型函数则是 2006 年 5 月 4 日本 Blog 所发文章里的函数（看到五年前的文章真是让我感慨万千啊）。这个函数的形式相当对称美观： 17 x^2 - 16|x|y + 17 y^2 < 225 。用 Mathematica 画出来大概是这样：
这个心形函数的成因非常简单，去掉中间一项的绝对值后你就明白了：
原来，17 x^2 - 16 x y + 17 y^2 < 225 将会画出一个椭圆，因此给 x 加上绝对值，相当于把平面直角坐标系 y 轴右半部分镜像过来，就得到一个大致的心形了。我们的目标，便是要沿着 y 轴方向给这颗心加上一道的裂缝。
裂缝一般都是锯齿形的。什么函数也是锯齿形的呢？最常用的估计就是三角函数和取余函数了吧。这里，我决定用大家熟知的并且也是相对容易控制 的正弦函数来描绘裂缝的形状。考虑二元函数 f(x, y) = x ，由于所有 x 坐标相同的点函数值都一样，它的“等高线图像”就是一条条简单的竖直线，如图所示：
那么，函数 f(x, y) = x + sin(y) 就是对上图中纵坐标为 y 的所有点偏移 sin(y) 的量，也就把一个个带状区域扭成了波浪。
不过，这个波浪似乎还不够剧烈，离我们的“裂缝”要求远了些。我们不妨加大正弦函数的频率：
哇， f(x, y) = x + sin(5 y) 的周期倒是变短了，不过这波动得也太剧烈了一些。看来，我们应该让 x 的变化也稍微剧烈一些，让它能适应 sin(5 y) 的步伐。于是，我把 f(x, y) 改成了 5 x + sin(5 y)
这就有点裂缝的味道了。注意，图里看上去裂缝带有些宽，这无所谓——这只是生成图形中等高线画得比较稀而已。光从无差异曲线的分布形状来看，我们已经实现裂缝效果了。
但是，怎样把这个裂缝应用到之前的心之函数里呢？注意到心之函数其实是一个不等式 17 x^2 - 16|x|y + 17 y^2 < 225 。如果我们能找一个两侧值小、靠近 y 轴部分陡然增大的波浪形函数 f(x, y) 就好了。把这样的 f(x, y) 加到心之函数上，就相当于给 y 轴附近的一个波浪形范围加上一个大得出奇的值，让不等式左边超过 225 ，出现裂缝状的空缺；同时，这以外的部分 f(x, y) 几乎为 0，该小于 225 的还是小于 225 ， 该大于 225 的还是大于 225 ，对心形不会造成任何实质性的影响。
什么操作能够让一个函数变得两边小到几乎为 0 ，靠近 y 轴的地方陡然增大呢？答案是“绝对值分之一”。
把它应用到之前的 f(x, y) 上（函数也就变成 1/|5 x + sin(5 y)| 了）：
哈哈，这个有效果，中间的函数值陡然增大，大到都亮得发白了。
让我们把这个 f(x, y) 加到心之函数上，也就是说画出不等式 17 x^2 - 16|x|y + 17 y^2 + 1/|5 x + sin(5 y)| < 225 ：
咦？怎么没有效果呢？且慢，仔细看图的中间，已经有一些要裂开的痕迹了。我想到了一个可能的原因：裂缝带的函数值还不够大。心形图形是由所 有满足 17 x^2 - 16|x|y + 17 y^2 小于 225 的点组成的，但是这些点的函数值并不是刚好 225 ，以至于加上了一个大数后仍然比 225 小。为了扩大裂缝的影响，让我们把 1/|5 x + sin(5 y)| 的分子改成 150 ：
让我们祈祷这次裂缝的函数值足以把心形破坏掉吧：
哈哈，这次成功了，裂开的心形！我原创的“分手方程”就此出炉了： 17 x^2 - 16|x|y + 17 y^2 + 150/|5 x + sin(5 y)| < 225 。让我们把这个不等式本身标在图上，方便在网络上传播：
不过，这个分手函数有一些美中不足的地方：它用到了分式运算，不能和已有的部分很好地合并在一起，很容易看出这是由心形函数和裂缝函数拼合 而成的，看上去有些平凡。另外，对于某些特殊的取值（比如 x 和 y 都为 0 ），不等式左边有可能因分母为 0 而无意义，虽然在分母上加个很小的常数可以避免，但作为完美主义者我仍然感觉很不爽。
这个方程有诸多不完美之处，如何构造一个看上去更酷的方程呢？写了这么多我也有些累了，脑子有点不够使了。既然“情侣去死去死团”年年都少不了 Geek 方阵， Geek 恋爱困境似乎百年不能动摇；如何寻找更完美的分手函数，不妨留着我们明年再来讨论。
