再议汉诺塔二

变体汉诺塔。

    问题描述：在经典汉诺塔的基础上加一个条件，即，如果再加一根柱子（即现在有四根柱子a,b,c,d)，计算将n个盘从第一根柱子(a)全部移到最后一根柱子(d)上所需的最少步数，当然，也不能够出现大的盘子放在小的盘子上面。注：1<=n<=64;

分析：设F[n]为所求的最小步数，显然，当n=1时，F[n]=1;当n=2时，F[n]=3;如同经典汉诺塔一样，我们将移完盘子的任务分为三步：

（1）将x(1<=x<=n)个盘从a柱依靠b,d柱移到c柱，这个过程需要的步数为F[x];

（2）将a柱上剩下的n-x个盘依靠b柱移到d柱（注：此时不能够依靠c柱，因为c柱上的所有盘都比a柱上的盘小）

     些时移动方式相当于是一个经典汉诺塔，即这个过程需要的步数为2^(n-x)-1（证明见再议汉诺塔一）；

（3）将c柱上的x个盘依靠a,b柱移到d柱上，这个过程需要的步数为F[x];

第（3）步结束后任务完成。

故完成任务所需要的总的步数F[n]=F[x]+2^(n-x)-1+F[x]=2*F[x]+2^(n-x)-1;但这还没有达到要求，题目中要求的是求最少的步数，易知上式，随着x的不同取值，对于同一个n，也会得出不同的F[n]。即实际该问题的答案应该min{2*F[x]+2^(n-x)-1},其中1<=x<=n;在用高级语言实现该算法的过程中，我们可以用循环的方式，遍历x的各个取值，并用一个标记变量min记录x的各个取值中F[n]的最小值。

用C++实现该算法如下：

#include
using namespace std;
int main()
{
 int n,x,i;
 double min,f[64];//min为标记变量，f[n]如上述分析中的F[n].
 double fang(int n);//该函数用来求2^n;
 f[0]=0;f[1]=1;f[2]=3;
 while(cin>>n)
 {
  for(i=3;i<=n;i++)
  {
   min=4131231321;
   for(x=1;x   {
    f[i]=2*f[x]+fang(i-x)-1;//算法的关键步骤。
    if(f[i]     min=f[i];
    else
     f[i]=min;
   }
   
  }
  cout< }
 return 0;
}
double fang(int t)//求2^t.
{
 double e=1;
 for(int i=1;i<=t;i++)
 {
  e=e*2;
 }
 return e;
}

//////////

一些测试数据：

 

Sample Input

1
3
12

 

Sample Output

1
5
81

//////////

原题见杭电1207题：

当然本题也可以如经典汉诺塔样使用递归算法，并且记录递归过程中对应各个x，递归所需要的步数。但时间复杂度相当高，当盘子的数目较大时，如64个，AMD3000+的CPU要算相当长的时间。。。故这里略去。

 

待续。。。。