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分类: IT职场

2020-12-26 13:56:46

奇 偶 数 幻 方


作者:刘国增( 河南) 


摘  要:通过把个数相同或不同的连续奇数和连续偶数安排在正方形的格子中,使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法,定义为奇偶数幻方

关键词:连续奇数,连续偶数,奇偶数幻方,奇偶幻方类自然数奇偶数幻方类自然数奇偶幻方


奇偶数幻方(Odd-even Magic Square)是一种将个数相同或不同的   

        奇数和偶数安排在正方形格子中,使每行、列和对角线上的   

        数字和都相等的方法。

奇偶幻方(Parity Magic Square)是一种将个数相同或不同的奇数组成的方阵和偶数组成的方阵安排在正方形格子中,使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。


一、奇偶幻方

n阶奇偶幻方

    ⑴、由p个连续奇数1,3,5,……2p-3,2p-1和q个连续偶数2,4,6,……2q-2,2q组成,且p+q=n?(n、p、q都不小于4)。

    ⑵、p个连续奇数可以组成a个m阶方阵(m阶方阵------将数字安排在mxm正方形格子中,下同)(纯奇数组成),q个连续偶数可以组成b个m阶方阵(纯偶数组成)(p=am?, q=bm?,m>1,a、b>0)。

    ⑶、把a个m阶方阵和b个m阶方阵排列在nxn的正方形格子中,使每行、每列、两条主对角线的和都相等。

    如果满足以上3个条件,则定义为n阶奇偶幻方。

    特别地,如果m阶方阵,每一个方阵(纯奇数或纯偶数组成)的各行、各列、主泛对角线上各数和都等于阵和(每一个方阵的阵和可相同,也可不同),这样组成的奇偶幻方则称为n阶分区完美奇偶幻方。

    如果m阶方阵,每一个方阵(纯奇数或纯偶数组成)的各行、各列、两条主对角线上各数和都等于阵和(每一个方阵的阵和可相同,也可不同),且平方和也都分别相等,这样组成的奇偶幻方则称为n阶分区平方奇偶幻方。

    同理可定义:n阶类自然数奇偶幻方,n阶类自然数分区完美奇偶幻方,n阶类自然数分区平方奇偶幻方。

    如果组成的n阶奇偶幻方各行,各列,主泛对角线上各数和都相等,则称为n阶完美奇偶幻方。

    如果组成的n阶奇偶幻方各行,各列,主对角线上各数的和都相等,且各行,各列,主对角线各数的平方和、立方和、???高次方和都分别相等,则称为n阶高次奇偶幻方。

    同理可定义:n阶类自然数完美奇偶幻方,n阶类自然数平方奇偶幻方,n阶类自然数高次奇偶幻方。

由定义易得下列结论:

    ⑴、大于3阶的幻方,质数阶不存在奇偶幻方,其它阶都有可能存在。

    ⑵、6阶奇偶幻方可能有①p=12,q=24,幻和124。②p=20,q=16,幻和112。③p=24,q=12,幻和122。④p=32,q=4,幻和174。

             
         
 
6阶奇偶幻

二、奇偶数幻方

n阶奇偶数幻方

    ⑴、p个连续奇数1,3,5,……2p-3,2p-1和q个连续偶数2,4,6,……2q-2,2q,且p+q=n?(n大于2,p、q都不小于0)。

    ⑵、把p个连续奇数和q个连续偶数排列在nxn的正方形格子中,使每行、每列、两条主对角线的和都相等。

    如果满足这两个条件,则定义为n阶奇偶数幻方。

如果奇偶数幻方不是从1开始的连续奇数或者不是从2开始的连续偶数,则为广义奇偶数幻方

同理可定义:n阶类自然数奇偶数幻方(至少含一个负数)。

    特别地:如果p=q或p-q=1.这样的幻方就是我们常说的n阶幻方

    如果p个连续奇数可以组成a个m阶方阵(纯奇数组成),q个连续偶数可以组成b个m阶方阵(纯偶数组成),p+q=n?,p=am?,q=bm?,m>1,且a个m阶方阵和b个m阶方阵可以排成n阶奇偶数幻方,则为n阶奇偶幻方

由定义易得下列结论:

⑴、3阶及3阶以上,都存在奇偶数幻方,质数阶不存在奇偶幻方。

⑵、4阶奇偶数幻方,可能存在p=4,q=12或p=12,q=4,存在p=8,q=8,m=2的奇偶幻方。

⑶、5阶奇偶数幻方,可能存在p=5,q=20或p=10,q=15或p=15,q=10或p=20,q=5  ······,不存在5阶奇偶幻方。

(4)、6阶奇偶数幻方、奇偶幻方(m=2)可能有①p=12,q=24,幻和124。②p=20,q=16,幻和112。③p=24,q=12,幻和122。④p=32,q=4,幻和174。

······


三、关系和联系

、存在性

      后记:作者把《中国幻方》第十七期《奇偶幻方》一文中“奇偶幻方”定义及延安会议论文专辑《奇偶数幻方》一文中的“奇偶数列幻方”定义,合并定义为“奇偶幻方”。          


                             河南:刘国增     

                              2019年5月


发佈:万树军(香港)
2020年12月26日
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