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分类: 大数据

2016-01-09 14:04:55

類自然數幻方的第一篇論文
※※※※※※
★特別指出 , 首先十分抱歉,由於「使用電腦」的知識不夠料子,未能將原論文中的數學符號貼上,唯有如此的留空,等日後學懂後再修補貼上,請潘鳳雛先生勿見怪,請捧場的朋友多多包涵.
※※※※※※
性質: 類自然數幻方。
作者:潘鳳雛。
來稿時間:2016年1月6日傍晚5:33分。
張貼本博客的時間:2016年1月9日。
※※※※※※

用镶框法构造偶阶类自然数幻方

无明

(西藏自治区地质调查院,拉萨,850000


摘要:本文利用均匀概念及模块法(镶框法)给出偶阶类自然数幻方的统一构作.


关键词:类自然数 幻方 均匀 模块法 镶框法 构造

1.前言

据作者所知,类自然数幻方的概念首先由万树军先生提出[1].2015年,万树军先后两次出奖征集有关类自然数幻方问题的解答[2].在万先生和中国幻方同仁的大力推动下,类自然数幻方的研究取得了许多重要的成果[3].本文在前人工作的基础上,利用均匀概念及模块法(镶框法)给出偶阶类自然数幻方的统一构造.为方便以后的研究,先给出若干概念.

约定m,n为正整数,a,b,k为整数且以[a,b]表示集合.记为.记整数集S的元素绝对值所成之集(称为S的绝对值集)为.k为非负整数,则约定

.

定义1.1 Sm元整数集且 ,则称Sm元类自然数集,简称类自然数集.

定义1.2 称元素个数为偶数的整数集合为均匀的或均匀集,如果其中正数和负数的个数相同.

定义1.3 称元类自然数集上的广义幻方为类自然数幻方.称偶阶类自然数幻方为均匀的,如果每条模线(行、列、对角线)上的元素的集合为均匀集.

定义1.4 mn元类自然数集上的广义幻矩为类自然数幻矩.称偶阶类自然数幻矩为均匀的,如果每行每列上的元素的集合为均匀集.

本文的主要目的是证明

定理1.1设为偶数,则存在均匀类自然数幻方.

2.预备定理

显然,如下两个定理成立:

定理2.1 a为整数,k为非负整数,则.

定理2.2 S为整数集,k为非负整数, ,则.Sm元类自然数集时,则.

定理2.3 S为不含0m元均匀集且其元素之和为s,再设k为非负整数,则集合为元素之和为sm元均匀集.

证:由于k为非负整数,故由正整数构成,而由负整数构成.同时,当时若有,则必须要求,这就说明Tm元集合且和的势相等.再直接计算有

+.

因此,结论成立. ■

定义2.1 设为整数矩阵,k为非负整数,则记矩阵为.

定理2.4 设为幻和s的均匀类自然数幻方,k为非负整数,则为幻和s的广义幻方.

证:由于A的每条模线上的元素集均为和为s的均匀集,故由定理2.3知,的每条模线上的元素集也为和为s的均匀集. ■

推论2.1设为均匀类自然数幻矩,k为非负整数,则为均匀广义幻矩.

定理2.5 存在4阶均匀类自然数幻方.

证:不难验证下面3个矩阵

-1

-11

9

5


-3

4

-5

6


-8

1

12

-3

6

10

-12

-2


-15

16

-9

10


14

-5

-16

9

-16

-4

8

14


8

-7

2

-1


-15

10

13

-6

13

7

-3

-15


12

-11

14

-13


11

-4

-7

2

均是幻和为2的四阶均匀类自然数幻方. ■

2.1 实际上可以证明,幻和为2的四阶均匀类自然数幻方的总数为6784个,其中

同构者为212个;而幻和为2的四阶类自然数幻方的总数为11136,其中

同构者为348. 进一步可以证明,四阶类自然数幻方的总数为457408,其中

同构者为14294.当然,如果把四阶类自然数幻方与看成是同构的,则

同构的四阶类自然数幻方的个数为7147,每一个可以通过简单的变换化为包括自身在内的64个类自然数幻方.

定理2.6 存在行和为2且列和为1的均匀类自然数幻矩.

证:下面矩阵


就是满足要求的幻矩. ■

定理2.7 Sm元类自然数集,Tn元类自然数集合,k为非负整数,整数集,则.

证:由定理2.2. ■

定理2.8 存在行和为2n且列和为1的均匀类自然数幻矩.

证:G由定理2.4确定,则为行和为2列和为1的均匀幻矩,而均匀矩阵


的行和为2n且列和为1.显然,的元素集为. ■

定义2.2 设,若整数矩阵的中心阶子阵元素全为0且除首行、末行与首列、末列的元素之和为之外其余模线上元素之和为d,则称其为md型幻框;若幻框边部个数的集合为类自然数集,则称其为d型类自然数幻框.若首行、末行与首列、末列的元素之集为均匀集,则称幻框为均匀的.

定理2.9 存在4阶和61型均匀类自然数幻框.

证:不难验证下面的矩阵






-1

-17

6

8

10

-3


-1

-9

4

6

14

-11

-3

2

8

-5


-11

 

 

 

 

12


-15

 

 

 

 

16

-11

 

 

12


-19

 



 

20


-19

 



 

20

10

 

 

-9


14

 



 

-13


8

 



 

-7

6

-1

-7

4


16

 

 

 

 

-15


18

 

 

 

 

-17






4

18

-5

-7

-9

2


12

10

-3

-5

-13

2

就是满足要求的矩阵. ■

2.2 可以证明,

同构的41型均匀类自然数幻框只有1个,而

同构的61型均匀类自然数幻框则有70.

定理2.10设为偶数,则存在m1型均匀类自然数幻框.

证:设为1型均匀类自然数幻框,则当m46时,由定理2.9知道结论成立.,而的形式如下:


































其中,空白处的元素为0.设,其中SA的边部个元素所成之集,,.那么,由定义1.1和定理2.2知,,,.因此,.这说明B的边部所有元素之集为类自然数集.由于SGH均为均匀集,故W为均匀集.直接验算知矩阵B除首行、末行与首列、末列的元素之和为之外其余模线上元素之和为1.综合上述结果,结论得证. ■

3.主要结果的证明

定理1.1的证明:用数学归纳法.由定理2.5及注2.1知时结论成立.下设为偶数,为幻和的均匀类自然数幻方,则由定理2.10知存在阶1型均匀类自然数幻框,令且

C是幻和为的均匀类自然数幻方.B的元素之集合为S,的边部元素之集为TC的元素之集合为W,则由定义1.1和定理2.2得,,.因此,C的元素之集为类自然数集.由和B的性质知,C的每条模线上的元素之和为.由于和B均为均匀的,故C也是均匀的.综合上述结果,由数学归纳法知结论成立. ■

定理3.1 设为偶数,为幻和为2的四阶均匀类自然数幻方,分别为阶1型均匀类自然数幻框,,再设为的全排列,令

()(),,

再令

则是幻和为的均匀类自然数幻方.

证:由定理2.4及推论2.1知,为幻和为2的四阶均匀广义幻方,分别为阶1型均匀广义幻框,因此,为幻和为的阶均匀广义幻方().下令,则由定理2.2知,,有,即有

.

由于,故

.

至此,就证明了的元素集合为类自然数集. ■

定理3.1表明,在幻和为2的四阶类自然数幻方及阶1型均匀类自然数幻框确定的情况下,共有种构成阶同心均匀类自然数幻方的方式.

4.例子

下面的16阶类自然数同心幻方具有金蝉脱壳性质,即同时包含468101214167个均匀类自然数幻方:

参考文献

[1] 万树军.類自然數(1)http://blog.chinaunix.net/uid/20489909-id-4574077.html.

[2] 万树军.風雲色變的48天,http://blog.chinaunix.net/uid/20489909-id-5003433.html.

[3] 万树军.李紹祥(黑龍江)的作品,http://blog.chinaunix.net/uid/20489909-id-5579093.html.


(写作时间:开始于20151231日,结束于201616日)


※※※※※※
類自然數(1);
http://m.blog.chinaunix.net/uid-20489909-id-4574077.html
風雲色變的48天;
http://m.blog.chinaunix.net/uid-20489909-id-5003433.html
李紹祥(黑龍江)的作品;
http://m.blog.chinaunix.net/uid-20489909-id-5579093.html
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