约瑟夫Joseph问题

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约瑟夫问题(一)
这是17世纪的法国数学家加斯帕在《数目的游戏问题》中讲的一个故事：15个教徒和15 个非教徒在深海上遇险，必须将一半的人投入海中，其余的人才能幸免于难，于是想了一个办法：30个人围成一圆圈，从第一个人开始依次报数，每数到第九个人就将他扔入大海，如此循环进行直到仅余15个人为止。问怎样排法，才能使每次投入大海的都是非教徒。
*问题分析与算法设计
约瑟夫问题并不难，但求解的方法很多；题目的变化形式也很多。这里给出一种实现方法。
题目中30个人围成一圈，因而启发我们用一个循环的链来表示。可以使用结构数组来构成一个循环链。结构中有两个成员，其一为指向下一个人的指针，以构成环形的链；其二为该 人是否被扔下海的标记，为1表示还在船上。从第一个人开始对还未扔下海的人进行计数，每数到9时，将结构中的标记改为0，表示该人已被扔下海了。这样循环计数直到有15个人被扔下海为止。
*程序与程序注释
#include
struct node
{
int nextp; /*指向下一个人的指针(下一个人的数组下标)*/
int no_out; /*是否被扔下海的标记。1：没有被扔下海。0：已被扔下海*/
}link[31]; /*30个人，0号元素没有使用*/
void main()
{
int i,j,k;
printf("The original circle is(+:pagendom,@:christian):\n");
for(i=1;i<=30;i++) /*初始化结构数组*/
{
link[i].nextp=i+1; /*指针指向下一个人(数组元素下标)*/
link[i].no_out=1; /*标志置为1，表示人都在船上*/
}
link[30].nextp=1; /*第30个人的指针指向第一个人以构成环*/
j=30; /*j:指向已经处理完毕的数组元素，从link[i]指向的人开始计数*/
for(i=0;i<15;i++) /*i:已扔下海的人数计数器*/
{
for(k=0;;) /*k:决定哪个人被扔下海的计数器*/
if(k<15)
{
j=link[j].nextp; /*修改指针，取下一个人*/
k+=link[j].no_out; /*进行计数。因已扔下海的人计标记为0*/
}
else break; /*计数到15则停止计数*/
link[j].no_out=0; /*将标记置 0，表示该人已被扔下海*/
}
for(i=1;i<=30;i++) /*输出结果*/
printf("%c",link[i].no_out? '@':'+'); /*+:被扔下海， @：在船上*/
printf("\n");
}
*运行结果
The original circle is(+:pagandom, @:christian):
+++@@+@+@@@+@+++@@+@@@+++@+@@+
(+"表示被扔下海海的非教徒 @：留在船上活命的教徒)

 

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约瑟夫问题(二)的数学方法

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
  k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：
k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1

由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：

＃i nclude

main()
{
  int n, m, i, s=0;
  printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
  for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
  printf ("The winner is %d\n", s+1);
}

这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。

 

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待续

 

 

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