GNU LPK: 1.线性优化简介 - 为复杂数学问题寻找最佳解决方案

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GNU 线性编程工具包（GNU Linear Programming Kit），第 1 部分: 线性优化简介 为复杂数学问题寻找最佳解决方案

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级别: 中级

Rodrigo Ceron (), 资深软件工程师, IBM

2006 年 9 月 04 日

GNU Linear Programming Kit 对于解决具有多种约束的数学问题来说是一个功能非常强大的工具。本文简要介绍了如何使用 GLPK（glpsol 客户机工具）和 GNU MathProg 语言来解决 Giapetto 的 Woodcarving 公司（一家玩具制造商）的作业优化问题。

“线性编程是一个用来解决优化问题的工具。在 1947 年，George Dantzig 开发了一种效率方法 —— simplex 算法 —— 来解决线性编程的问题。由于 simplex 算法的出现，线性编程已经在工业界、银行界、教育界、林业、石油行业以及运输业界中广泛地用来解决优化问题。在对财富 500 强公司的调查中，85% 的被调查者都说他们已经使用了线性编程。”

引自 Operations Research: Applications and Algorithms, 4th Edition，Wayne L. Winston 著（Thomson，2004）；请参看下面 参考资料 中的链接。

有很多工具都可以用来解决线性编程的问题。尽管有些专用工具都非常出名，但是开放源码社区中的很多人可能并不了解免费的 GLPK 工具。

本系列文章一共 3 篇，将逐渐介绍 GLPK 的功能和用法；本文是其中的第 1 篇，在本文中，我们将对 GLPK 简要进行介绍，然后展示并应用 GLPK 中的 GNU MathProg Language。

如果我们仅仅从运筹学理论入手，希望学习进行建模和解决线性编程的问题，那么本文就是一个很好的指南。

GNU Linear Programming Kit（GLPK）是一个使用了众所周知的运筹学算法来解决线性问题的程序库。这些程序实现了simplex 算法、branch and bound 算法、primal-dual interior point 算法以及很多其他算法。请查看 GLPK 下载包中所包含的 GLPK 手册以便了解更多的内容。（要下载 GLPK，请参看 参考资料 一节中给出的 gnu.org 上面 GLPK 页面的链接。）

GLPK 不是一个程序 —— 它无法运行，也没有 main() 函数。实际上，客户机需要将问题数据通过 GLPK API 提供给算法程序，并接收结果。GLPK 有一个默认的客户机，即 glpsol 程序，它可以与这个 API 进行交互。通常诸如 glpsol 之类的程序都被称为 solver，而不是客户机，因此从现在开始我们就会看到这个术语。

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GNU MathProg 建模语言非常简单，但却可以很好地声明线性问题。通常，问题的声明包括：

• 问题决策变量。
• 目标函数。注意目标（objective） 是一个名词，而不是一个形容词。这个名字是运筹学理论中的标准术语。
• 问题约束。
• 问题参数（数据）。

让我们从一个简单的两变量的例子入手：Giapetto 的 Woodcarving 公司。

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这个问题引自于 Operations Research：

Giapetto 的 Woodcarving 公司生产两种木头制作的玩具：士兵和火车。一个士兵的销售价格为 27 美元，需要耗费价值 10 美元的原料。制造每个士兵需要耗费 Giapetto 的可变人力成本和间接成本一共 14 美元。一辆火车的销售价格为 21 美元，需要耗费价值 9 美元的原料。制造每辆火车需要耗费 Giapetto 的可变人力成本和间接成本一共 10 美元。这家木头士兵和火车的制造商需要两类熟练工人：木工和修整工。一个士兵需要 2 小时的修整工劳动和 1 小时的木工劳动。一辆火车需要 1 小时的修整工劳动和 1 小时的木工劳动。每周 Giapetto 可以获得所有必需的原料，但是只能提供 100 个修整工时和 80 个木工工时。市场对于火车的需求是无限的，但是每周最多可以销售 40 个士兵。Giapetto 希望能够使每周的收益（收入 - 成本）最大化。

下面我们对这个问题的重要信息和假设一下：

1. 有两种木制玩具：士兵和火车。
2. 一个士兵的销售价格为 27 美元，需要耗费价值 10 美元的原料，另外需要耗费可变人力成本和间接成本一共 14 美元。
3. 一辆火车的销售价格为 21 美元，需要耗费价值 9 美元的原料，另外需要耗费可变人力成本和间接成本一共 10 美元。
4. 一个士兵需要 2 小时的修整工劳动和 1 小时的木工劳动。
5. 一辆火车需要 1 小时的修整工劳动和 1 小时的木工劳动。
6. 每周最多可以获得 100 个修整工时和 80 个木工工时。
7. 每周对于火车的需求是无限的，但是最多可以销售 40 个士兵。

我们的目标是确定每周生产士兵和火车的数量，从而可以使每周的收益最大化。

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要对一个线性问题进行建模，必须首先确定决策变量，这是因为这些变量在每个 simplex 算法循环中都会变化，并决定了目标函数的值，这样才会产生优化解决方案。在 Giapetto 的商店中，目标函数是收益，这是一个每周生产的士兵和火车的函数。因此，这个问题中的两个决策变量是：

• x1：每周生产的士兵数量
• x2：每周生产的火车数量

确定了决策变量之后，这个问题的目标函数就简化为每个玩具的收入减去成本，这是 x1 和 x2 的一个函数。

请注意，收益线性依赖于 x1 和 x2 —— 这是一个线性问题。

乍一看，收益可以通过简单地增大 x1 和 x2 来实现最大化。然而，如果生活是如此简单，那就让我们都开始生产火车和士兵，并迁居到 Caribbean 好了！不幸的是，有很多约束会对可以选择的决策变量造成影响（否则这个模型很可能就是错的）。

回想一下我们对这个问题的 假设。前三条确定了决策变量和目标函数。第 4 个假设和第 6 个假设说完成士兵的制造需要耗费一定的木工和修整工工时。此处的约束是 Giapetto 并没有无限的木工和修整工工时。这就是约束！下面我们来分析并澄清这个问题。

一个士兵需要 2 小时的修整工时劳动，Giapetto 每周最多有 100 小时的修整工劳动力，因此每周就不能生产超过 50 个士兵。类似地，木工工时的约束也使它不能每周生产超过 80 个士兵。注意第一个约束比第二个约束更为严格。第一个约束实际上是第二个约束的一个子集，因此第二个约束实际上是冗余的。

上面这段描述展示了如何对优化问题进行建模，但这只是不完全的一个分析，因为所有必需的变量都还没有充分考虑。这尚不是 Giapetto 问题的彻底解决方案。那么我们应该如何解决这个问题呢？

我们首先通过分析约束因素来发现所有的约束条件。首先，到底是什么约束的修整工时？由于士兵和火车都需要修整时间，因此它们都需要考虑在 内。假设要制造 10 个士兵和 20 辆火车。这所需要的修整工时是 10 乘以 2 小时（用来生产士兵）加上 20 乘以 1 小时（用来生产火车），总共是 40 小时的修整劳动力。按照决策变量的术语来说，通用的约束为：

有很多 (x1,x2) 对能够满足这个不等式，因此它无法确定 Giapetto 商店的最佳组合。

现在我们已经知道了修整工时的约束，同样也可以得出木工工时的约束：

非常不错！这个问题只剩下一个约束了。记得每周对士兵的需求么？根据问题描述，每周最多可以生产 40 个士兵：

对于火车的需求是无限的，因此对它就没有什么约束了。这个模型就完成了，它包括以下等式：

注意最后一个约束。它确保决策变量的值都是正数。问题并没有显式地说明这一点，但它却非常重要（也很显然）。

现在 GLPK 可以解析这个模型了（由于 GLPK 很擅长解决线性优化问题）。

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下面我们来了解以下问题的解析空间。有了这两个决策变量，它就有了两个维度。

(x1,x2) 超出第一象限（其中所有值都为正数）的结果都已经被舍弃了。然而，我们需要注意这个解析空间仍然是无限的（这依然可能 成为我希望移居 Caribbean 的一种情况！）

正如我们给出的约束一样，这个无限的解析空间达到了边界。有了上面的 不等式 6，结果就更加有趣了。

这个解析空间包含了 (x1,x2) 在第一象限的所有可能值，它们可以满足修整工时约束。

在加上 不等式 7 之后，结果就收缩了。

注意，这个解析空间更小。这意味着其中只有更少的 (x1,x2) 值。在应用不等式 8 之后，结果还会进一步变小。

这样解析空间更小了。这个可以满足所有约束的解析空间称为可行域（feasible region）。图 4 给出了 Giapetto 商店的可行域。这个区域中任何 (x1,x2) 对都是这个问题的一个可能解决方案。

现在的问题是：哪个值能够使得 Giapetto 的收益最大化呢？

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GLPK 对于解析这个问题来说是一个很好的工具。Giapetto 问题中的数学公式需要使用 GNU MathProg 语言进行编写。需要声明的关键内容有：

• 决策变量
• 目标函数
• 约束
• 问题数据集

下面的代码显示了如何使用 MathProg 来解决 Giapetto 问题。代码中的行号都不是代码本身的一部分。添加这些行号只是为了能够方便地对代码进行引用。

 1  #
 2  # Giapetto's problem
 3  #
 4  # This finds the optimal solution for maximizing Giapetto's profit
 5  #
 6
 7  /* Decision variables */
 8  var x1 >=0;  /* soldier */
 9  var x2 >=0;  /* train */
10
11  /* Objective function */
12  maximize z: 3*x1 + 2*x2;
13
14  /* Constraints */
15  s.t. Finishing : 2*x1 + x2 <= 100;
16  s.t. Carpentry : x1 + x2 <= 80;
17  s.t. Demand    : x1 <= 40;
18
19  end;

第 1 行到第 5 行都是注释。# 在一行中不管从什么地方开始，都表示本行到末尾全部是注释。C 风格的注释全都可以使用，如第 7 行所示。它们甚至可以在声明中间使用。

第一个 MathProg 步骤是声明决策变量。第 8 行和第 9 行声明了 x1 和 x2。决策变量的声明以关键字 var 开头。为了简化符号约束（检查不等式 9），MathProg 允许在决策变量声明中使用 >= 0 约束，正如我们在第 8 行和第 9 行中看到的一样。GNU MathProg 中的每条语句都必须以分号（;）结束。记住 x1 表示 soldier 的数量，x2 表示 train 的数量。这些变量应该分别称为 soldiers 和 trains，但是这可能会把读者中的数学界人士搞得混乱不堪。

第 12 行声明了目标函数。线性问题可以是最大化问题，也可以是最小化问题。记住，Giapetto 的数学模型是一个最大化问题，因此我们应该使用 maximize 作为关键字，而不是相反的 minimize 关键字。目标函数称为 z，它等于 3x1 + 2x2。请注意：

• 冒号（:）字符分隔开了目标函数及其定义。
• 星号（*）字符表示乘法，类似地，加号（+）、减号（-）和斜线（/）字符分别表示加法、减法和除法。

第 15、16、17 行定义了约束。尽管 s.t. 对于声明一个约束来说并不需要在行首，但是这样可以提高代码的可读性。

这三个 Giapetto 约束分别被标记成 Finishing、Carpentry 和 Demand。每个都是作为一个数学模型来声明的。符号 <= 和 >= 表示不等式。不要忘记每个声明末尾的 ;。

每个 GNU MathProg 文件必须要以 end; 结束，正如我们在 19 行看到的一样。

现在，glpsol 可以使用这个文件作为输入。但是请等一下，这个问题的数据部分在什么地方呢？噢，这个问题是如此简单，问题数据都作为声明中决策变量的系数直接包含在了目标函数和约束声明中。举例来说，在目标函数中，系数 3 和 1 就是问题数据集的一部分。当我使用数据集重写这个问题时，大家就可以非常清楚这到底是如何工作的。现在，我们不用关心这个问题。

使用 .mod 作为 MathProg 输入文件的扩展名并将答案重定向到一个扩展名为 .sol 的文件中是一个好习惯。不过这并不是必需的要求，您可以使用任何自己喜欢的文件名和扩展名。这个例子中 Giapetto 的 MathProg 文件是 giapetto.mod，输出结果在 giapetto.sol 中。现在，请在自己喜欢的终端中运行 glpsol：

glpsol -m giapetto.mod -o giapetto.sol

这个命令使用了两个 glpsol 选项：

• -m 选项告诉 glpsol 输入是使用 GNU MathProg 编写的。
• -o 选项告诉 glpsol 将自己的输出结果发送到 giapetto.sol 中。

解答报告现在就在 giapetto.sol 中了，但是有关 GLPK 所消耗的时间和内存信息会显示在标准输出上：

ceron@curly ~ $ glpsol -m giapetto.mod -o giapetto.sol
Reading model section from giapetto.real.mod...
19 lines were read
Generating z...
Generating Finishing...
Generating Carpentry...
Generating Demand...
Model has been successfully generated
lpx_simplex: original LP has 4 rows, 2 columns, 7 non-zeros
lpx_simplex: presolved LP has 2 rows, 2 columns, 4 non-zeros
lpx_adv_basis: size of triangular part = 2
*     0:   objval =   0.000000000e+00   infeas =   0.000000000e+00 (0)
*     2:   objval =   1.400000000e+02   infeas =   0.000000000e+00 (0)
OPTIMAL SOLUTION FOUND
Time used:   0.0 secs
Memory used: 0.1M (151326 bytes)
lpx_print_sol: writing LP problem solution to `giapetto.sol'...

所生成的报告显示 glpsol 会读取这个模型，调用一个 GLPK API 函数来生成目标函数，然后调用另外一个 API 函数来生成约束。在生成模型之后，glpsol 简要地解释了 GLPK 在内部是如何对这个问题进行处理的。最后是有关解答和 GLPK 为解答这个问题所消耗的资源的信息，这个解答被明确说明是优化的。

这非常棒，但是决策变量的实际优化值是什么呢？它们都保存在 giapetto.sol 文件中：

Problem:    giapetto
Rows:       4
Columns:    2
Non-zeros:  7
Status:     OPTIMAL
Objective:  z = 180 (MAXimum)

   No.   Row name   St   Activity     Lower bound   Upper bound    Marginal
------ ------------ -- ------------- ------------- ------------- -------------
     1 z            B            180
     2 Finishing    NU           100                         100             1
     3 Carpentry    NU            80                          80             1
     4 Demand       B             20                          40

   No. Column name  St   Activity     Lower bound   Upper bound    Marginal
------ ------------ -- ------------- ------------- ------------- -------------
     1 x1           B             20             0
     2 x2           B             60             0

Karush-Kuhn-Tucker optimality conditions:

KKT.PE: max.abs.err. = 0.00e+00 on row 0
        max.rel.err. = 0.00e+00 on row 0
        High quality

KKT.PB: max.abs.err. = 0.00e+00 on row 0
        max.rel.err. = 0.00e+00 on row 0
        High quality

KKT.DE: max.abs.err. = 0.00e+00 on column 0
        max.rel.err. = 0.00e+00 on column 0
        High quality

KKT.DB: max.abs.err. = 0.00e+00 on row 0
        max.rel.err. = 0.00e+00 on row 0
        High quality

End of output

解答被划分成 4 部分：

• 有关问题和目标函数优化值的信息
• 有关目标函数状态和约束的确切信息
• 有关决策变量的优化值的确切信息
• 有关优化条件的信息（如果有的话）

对于这个特定的问题来说，我们可以看到解决方案是 OPTIMAL 的，Giapetto 每周最大收益是 180 美元。

Finishing 约束的状态是 NU（St 列）。NU 表示这个约束的上界有一个非基本变量。如果我们了解一些基本的运筹学理论，就可以构建 simplex 场景并将之提取出来。如果不了解运筹学理论，下面是一个实际的解释。

不论何时约束达到自己的上界或下界时，我们就称之为是一个边界约束（bounded constraint）。边界约束阻碍了目标函数达到更为优化的值。例如我们可以认为它是一个音量调节旋钮，现在它已经无法再进行调节了。当这种情况发生时，glpsol 就会将约束状态显示为 NU 或 NL（分别对应上界和下界的情况），它还会显示边界（marginal）值，也称为假定价格（shadow price）。 边界值是约束如果可以放松一个单位（如果音量调节旋钮可以再调节一点点）目标函数可以改进的值。注意这种改进依赖于我们的目标是要对目标函数进行最大化还 是最小化。举例来说， Giapetto 问题所寻求的就是最大化，边界值为 1 就表示如果我们可以增加一个小时的修整工时，目标函数就可以增大 1（我们知道这是要多 一个小时，而不是少一个小时，这是因为修整工时约束是一个上界）。

木工和士兵的需求约束是类似的。对于木工约束来说，注意它也有一个上界。因此，这个约束中放松一个单位（增加一个小时）可以使目标函数的优化值增加边界值 1，成为 181。

然而，士兵需求是没有边界的，因此其状态是 B，这个约束中的放松不会改变目标函数的优化值。

一次只尝试放松每个边界约束一个单位，解决修改后的问题，看一下目标函数的优化值发生了什么变化。还要检查修改无边界约束的值不会对解答造成任何变化，这正是我们期望的。

最后，glpsol 的报告给出了决策变量的值：x1 = 20 和 x2 = 60。这就告诉 Giapetto 它应该生产 20 个士兵和 60 辆火车才能实现每周收益的最大化。

Giapetto 的问题很小。我们可能会纳闷，在有更多决策变量和约束的问题中，我们只能分别逐一声明每个变量和每个约束吗？如果希望调节问题中的数据（例如士兵的销售价格）应该怎样做呢？我们只能逐一修改这些值出现的地方吗？下一节将讨论这个问题。

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MathProg 模型通常都有一个模型段和一个数据段，有时可以在两个不同的文件中。这样 glpsol 就可以简单地使用不同的数据集来解析某个模型，从而找到对这些新数据应该采用哪种解决方案。下面的列表以更优雅的方式说明了 Giapetto 的问题：

 1      #
 2      # Giapetto's problem
 3      #
 4      # This finds the optimal solution for maximizing Giapetto's profit
 5      #
 6
 7      /* Set of toys */
 8      set TOY;
 9
10      /* Parameters */
11      param Finishing_hours {i in TOY};
12      param Carpentry_hours {i in TOY};
13      param Demand_toys     {i in TOY};
14      param Profit_toys     {i in TOY};
15
16      /* Decision variables */
17      var x {i in TOY} >=0;
18
19      /* Objective function */
20      maximize z: sum{i in TOY} Profit_toys[i]*x[i];
21
22      /* Constraints */
23      s.t. Fin_hours : sum{i in TOY} Finishing_hours[i]*x[i] <= 100;
24      s.t. Carp_hours : sum{i in TOY} Carpentry_hours[i]*x[i] <= 80;
25      s.t. Dem {i in TOY} : x[i] <= Demand_toys[i];
26
27
28      data;
29      /* data  section */
30
31      set TOY := soldier train;
32
33      param Finishing_hours:=
34      soldier         2
35      train           1;
36
37      param Carpentry_hours:=
38      soldier         1
39      train           1;
40
41      param Demand_toys:=
42      soldier        40
43      train    6.02E+23;
44
45      param Profit_toys:=
46      soldier         3
47      train           2;
48
49      end;

我们并没有使用两个单独的文件，而是在一个具有模型段（第 1 行 到第 27 行）和一个数据段（第 28 行到第 49 行）的文件中声明了这个问题。

第 8 行定义了一个 SET。SET 是一个元素的值域。例如，如果我声明数学变量 xi, for all i in {1;2;3;4}，就说明 x 是一个包含 4 个元素的数组，因此我们就可以使用 x1、x2、x3、x4 了。在这个例子中，{1;2;3;4} 就是这个集合。因此，在 Giapetto 问题中，有一个集合 TOY。这个集合的实际值是什么呢？在这个文件的数据段中。请查看第 31 行。它定义了 TOY 集合包含 soldier 和 train。哦，这个集合不是一个数字类型的范围。那么这怎样实现呢？GLPK 是以一种非常有趣的方法来处理这个问题的。稍后我们就会看到如何使用这种方法。现在，请习惯数据段中 SET 声明所使用的语法：

set label := value1 value2 ... valueN ;

第 11、12 和 13 行定义了这个问题的参数。一共有三个参数：Finishing_hours、Carpentry_hours 和 Demand_toys。这些参数构成了这个问题的数据矩阵，并用来计算约束，正如我们稍后会看到的一样。

我们以 Finishing_hours 参数为例来看一下这个问题。它是在 TOY 集合上定义的，因此 TOY 集合中的每种玩具都有一个 Finishing_hours 值。记住每个士兵需要 2 小时的修整工作，每辆火车需要 1 小时的修整时间。现在请看一下第 33、34 和 35 行的内容。这是对每种玩具的修整工时的定义。实际上，这些行的内容声明 Finishing_hours[soldier]=2，Finishing_hours[train]=1。因此 Finishing_hours 就是一个 1 行 2 列的矩阵。

木工工时和需求参数都是类似地进行声明的。注意对于火车的需求是无限的，因此在 43 行上我们使用了一个很大的值作为上界。这个值看起来够大么？

第 17 行声明了一个变量 x，对于 TOY 中的每个 i（即 x[soldier] 和 x[train]），我们都要限制它们大于或等于 0。有了这些集合之后，声明变量就变得非常简单了，不是么？

第 20 行声明了对象函数是 z 的最大值，这是每种玩具的总体收益（一共有两种玩具：火车和士兵）。例如，对于士兵来说，收益是士兵个数乘以每个士兵的收益。

第 23、24 和 25 行上的约束也是类似地进行声明的。以修整工时约束为例：它是每种玩具的修整工时乘以所生产的这种玩具的数量之积的总和。对于这两种玩具（火车和士兵）来说，这必须小于或等于 100。类似地，木工工时综合也应该小于或等于 80。

需求约束与上面两个约束有所不同，因为它是为每种玩具而定义的，而不是为所有玩具类型总和进行定义的。因此，我们需要两个约束：一个用于火车，另外一个用于士兵，正如我们在第 25 行中看到的一样。注意索引变量（{i in TOY}）都是在 : 之前出现的。这告诉 GLPK 为 TOY 中的每种玩具类型都创建一个约束，每个约束的等式都在 : 之后出现。在本例中，GLPK 会创建

Dem[soldier] : x[soldier] <= Demand[soldier]

Dem[train] : x[train] <= Demand[train]

解析这个新模型必须产生相同的结果：

Problem:    giapetto2
Rows:       5
Columns:    2
Non-zeros:  8
Status:     OPTIMAL
Objective:  z = 180 (MAXimum)

   No.   Row name   St   Activity     Lower bound   Upper bound    Marginal
------ ------------ -- ------------- ------------- ------------- -------------
     1 z            B            180
     2 Fin_hours    NU           100                         100             1
     3 Carp_hours   NU            80                          80             1
     4 Dem[soldier] B             20                          40
     5 Dem[train]   B             60                    6.02e+23

   No. Column name  St   Activity     Lower bound   Upper bound    Marginal
------ ------------ -- ------------- ------------- ------------- -------------
     1 x[soldier]   B             20             0
     2 x[train]     B             60             0

Karush-Kuhn-Tucker optimality conditions:

KKT.PE: max.abs.err. = 0.00e+00 on row 0
        max.rel.err. = 0.00e+00 on row 0
        High quality

KKT.PB: max.abs.err. = 0.00e+00 on row 0
        max.rel.err. = 0.00e+00 on row 0
        High quality

KKT.DE: max.abs.err. = 0.00e+00 on column 0
        max.rel.err. = 0.00e+00 on column 0
        High quality

KKT.DB: max.abs.err. = 0.00e+00 on row 0
        max.rel.err. = 0.00e+00 on row 0
        High quality

End of output

请注意约束和决策变量现在在 TOY 后面是如何命名的，这样看起来非常清晰，而且组织良好。非常不错。我们已经对 Giapetto 的收益进行了最大化！

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我们已经看到了如何为一个简单的两变量线性问题写出公式。接下来我们了解了如何使用一个简单的 MathProg 程序来使用集合、参数、约束、决策变量和目标函数来解答这个问题。这个程序使用了集合和一个参数数据段。最后，我们学习了如何解释最大化问题的结果。

这个三篇系列文章的下一部分将介绍如何在不利情况中实现最佳的优化。

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		Rodrigo Ceron Ferreira de Castro 是 IBM Linux Technology Center 的一名资深软件工程师。他在 2004 年毕业于 State University of Campinas（UNICAMP）。毕业时他获得了 State Engineering Institute 奖和 Engineering Council Certification of Honor 的荣誉。他在巴西和其他国家举办的开放源码会议上进行了几次演讲。