欧几里德算法及其实现

1、欧几里德算法

欧几里德算法
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为： 

  

void swap(int & a, int & b){

     int c = a;

     a = b;

     b = c;

}

int gcd(int a,int b){

     if(0 == a ){

         return b;

     }

     if( 0 == b){

         return a;

     }

     if(a > b){

         swap(a,b);

     }

     int c;

     for(c = a % b ; c > 0  ; c = a % b){

         a = b;

         b = c;

     }

     return b;

}

2、Stein算法
欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，他无论从理论还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷，这个缺陷只有在大素数时才会显现出来。

考 虑现在的硬件平台，一般整数最多也就是64位，对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的 模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过 64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算 128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。

Stein算法由J. Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法 算法不同的是，Stein算法只有整数的移位和加减法，这对于程序设计者是一个福音。

为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：

gcd(a,a) = a，也就是一个数和他自身的公约数是其自身
gcd(ka,kb) = k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换，特殊的，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除

C++/java 实现

// c++/java stein 算法

int gcd(int a,int b){

     if(a//arrange so that a>b

         int temp = a;

         a = b;

         b=temp;

     }

     if(0==b)//the base case

         return a;

     if(a%2==0 && b%2 ==0)//a and b are even

         return 2*gcd(a/2,b/2);

     if ( a%2 == 0)// only a is even

         return gcd(a/2,b);

     if ( b%2==0 )// only b is even

         return gcd(a,b/2);

 

     return gcd((a+b)/2,(a-b)/2);// a and b are odd

 

}