门后山羊的概率

电视台幸运520的节目中，主持人给胜出者一个获奖的选择：“有三扇门，门后面分别有：山羊，山羊，轿车。推开哪扇门就拿走其门后的奖品”。若是你先选出第一扇门后，主持人突然打开第二扇门，其门后是山羊，现在主持人问是否重新选择，你是坚持第一扇门不换，还是换成第三扇门，怎样得到轿车的机会大？
A.换不换一样，概率都是1/2；　B.换门，第三扇门有车概率2/3。

 解释这个问题，设计两个游戏：三张牌，2黑1红，ABC三个人，AC赌注，B凑热闹，抓红者赢。

第一种玩法：随机分三张牌，然后翻开第二张，如果第二张为红，两游戏者AC就谁也不会赢了，结束；如果第二张为黑，两张牌里一黑一红，AC谁抓到红的概率都是1/2，而且随便拿哪一张都一样。 显然上面的问题不是这个模型，理由是主持人“知道”哪扇门后是什么，故意推开山羊门，不是随机推开一门。

第二种玩法：B依次分三张牌在ABC跟前，当然此时每个人抓到红牌的概率都是1/3。注意A的牌不再动了，B可以看BC两张牌，然后翻出一张黑的，注意此时翻开的可以是B的也可以是C的，对A来说，BC至少一张是黑的是个必然事件，所以从两张中找出一张黑的翻出来对判断A是什么颜色完全不提供有用信息，但是如果翻开的是B，对C的影响却非常大，如果C是黑的，很大的概率会翻开C，既然翻开了B，那么C为红的概率大大提高了，因为A并没参与“如果是黑也可能被翻开”，所以A为红的概率仍为1/3，C为2/3。

由于主持人知道车在哪扇门后，在2和3中选择推开山羊门的时候3其实已经经历了一次博弈，结果主持人选择推开2，其实已经降低了3也是山羊的概率了。

严格的，可以做下面的概率推理：

让X为取值范围是{1, 2, 3}的随机变量，X取到的值就代表该值对应的门后是轿车。
很显然，先验概率 X 服从均匀分布，亦即 P(X=1) = P(X=2) = P(X=3) = 1/3.
现在主持人在2和3中间公布了2后是山羊，关键在于主持人确切的知道每个门后的状况，因此和偶然发现2后是羊的情况有所不同，具体地说，在2和3中结果是2被pass有两种可能：3本来就是轿车，那么2必是山羊；本来1是轿车，那么2和3中随便选了一个碰巧是2的概率我们可以认为是一半。
记“2、3中被主持人指出2是山羊”这个事件为e，那么有

   P(e | X=3) = 1, P(e | X=1) = 1/2, P(e | X=2) = 0.
因此 

    P(e) = P(X=1) * P(e | X=1)+ P(X=2) * P(e | X=2)+ P(X=3) * P(e | X=3) 

         = 1/3 * (1/2+1+ 0) = 1/2.
根据贝叶斯定理，我们需要的后验概率

    P(X=3 | e) = P(e | X=3) * P(X=3) / P(e) = (1 * 1/3) / (1/2) = 2/3.
同理

    P(X=1 | e) = P(e | X=1) * P(X=1) / P(e) = (1/2 * 1/3) / (1/2) = 1/3.

 

 

 

 

 

 

 

明白了吗？想开车而不是骑羊走的概率大些就换三号门，看不懂推导就这样接受：2号门被“好心的知情者”排除后2/3的概率都落在了3号门上。