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2011-10-04 17:07:49

电视台幸运520的节目中,主持人给胜出者一个获奖的选择:“有三扇门,门后面分别有:山羊,山羊,轿车。推开哪扇门就拿走其门后的奖品”。若是你先选出第一扇门后,主持人突然打开第二扇门,其门后是山羊,现在主持人问是否重新选择,你是坚持第一扇门不换,还是换成第三扇门,怎样得到轿车的机会大?
A.换不换一样,概率都是1/2; B.换门,第三扇门有车概率2/3

 解释这个问题,设计两个游戏:三张牌,21红,ABC三个人,AC赌注,B凑热闹,抓红者赢。

第一种玩法:随机分三张牌,然后翻开第二张,如果第二张为红,两游戏者AC就谁也不会赢了,结束;如果第二张为黑,两张牌里一黑一红,AC谁抓到红的概率都是1/2,而且随便拿哪一张都一样。 显然上面的问题不是这个模型,理由是主持人“知道”哪扇门后是什么,故意推开山羊门,不是随机推开一门。

第二种玩法B依次分三张牌在ABC跟前,当然此时每个人抓到红牌的概率都是1/3。注意A的牌不再动了,B可以看BC两张牌,然后翻出一张黑的,注意此时翻开的可以是B的也可以是C的,对A来说,BC至少一张是黑的是个必然事件,所以从两张中找出一张黑的翻出来对判断A是什么颜色完全不提供有用信息,但是如果翻开的是B,对C的影响却非常大,如果C是黑的,很大的概率会翻开C,既然翻开了B,那么C为红的概率大大提高了,因为A并没参与“如果是黑也可能被翻开”,所以A为红的概率仍为1/3C2/3

由于主持人知道车在哪扇门后,在23中选择推开山羊门的时候3其实已经经历了一次博弈,结果主持人选择推开2,其实已经降低了3也是山羊的概率了。

严格的,可以做下面的概率推理:

X为取值范围是{1, 2, 3}的随机变量,X取到的值就代表该值对应的门后是轿车。
很显然,先验概率 X 服从均匀分布,亦即 P(X=1) = P(X=2) = P(X=3) = 1/3.
现在主持人在23中间公布了2后是山羊,关键在于主持人确切的知道每个门后的状况,因此和偶然发现2后是羊的情况有所不同,具体地说,在23中结果是2pass有两种可能:3本来就是轿车,那么2必是山羊;本来1是轿车,那么23中随便选了一个碰巧是2的概率我们可以认为是一半。
记“23中被主持人指出2是山羊”这个事件为e,那么有

   P(e | X=3) = 1, P(e | X=1) = 1/2, P(e | X=2) = 0.
因此 

    P(e) = P(X=1) * P(e | X=1)+ P(X=2) * P(e | X=2)+ P(X=3) * P(e | X=3) 

         = 1/3 * (1/2+1+ 0) = 1/2.
根据贝叶斯定理,我们需要的后验概率

    P(X=3 | e) = P(e | X=3) * P(X=3) / P(e) = (1 * 1/3) / (1/2) = 2/3.
同理

    P(X=1 | e) = P(e | X=1) * P(X=1) / P(e) = (1/2 * 1/3) / (1/2) = 1/3.

 

 

 

 

 

 

 

明白了吗?想开车而不是骑羊走的概率大些就换三号门,看不懂推导就这样接受:2号门被“好心的知情者”排除后2/3的概率都落在了3号门上。


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