日出时间计算

本文假定你拥有以下知识：三角函数、简单的立体几何、地球的公转与自转、时区与北京时间；此外你可能在阅读本文前，还需要一张纸、一支笔、一个普通的工程类计算器，以及一杯让你舒缓神经的水。为了完成计算，你必需要知道你当前的经纬度和日期。

由于本文涉及冗长的推导过程，可能并不适合浮躁的心情。当然，本文秉承我一贯的风格，绝不包含超出高中课本的知识。

一切准备工作就绪的话，我们就开始了。

首先，我们根据当前的日期确定太阳在黄道中的位置。我们知道，太阳大约在3月20日或3月21日直射赤道，而其运动周期是365天。所以现在太阳在黄道中的位置是
[注1]

黄道平面与赤道平面的夹角被称为黄赤夹角，大约为23.5度。根据立体几何的知识，太阳当前直射的纬度B_s满足

根据这个式子，就可以用计算器的反三角函数求得B_s。

接下来，需要计算的是目前你所在纬度的昼长。由于黄道、赤道和你所在的纬圈均不同在一个平面，所以在纬圈上，太阳照射的部分并不等于纬圈的一半。这里令2θ为其超出的角度，则有下式

其中B为你当前的纬度。解出θ后，可以求得昼长等于

等等，这里我们忽略了两点：1. 阳光在大气中的折射会使得我们能见到地平线下方约37′射来的光线。2. 太阳不是点光源，它是一个约16′圆盘。考虑这两点，θ还有一个修正量[注2]

在这个基础上，重新计算昼长T。到这里，最难的问题已经解决了，还需要把当地时间，根据经度L换算到北京时间。也就是当地正午（太阳最高时）的北京时间为

那么日出时间t_r和日落时间t_s

为了验证以上计算的正确性，这里有一个基于Google Maps的在线日出日落计算器。[]

由于忽略了地球公转的椭圆轨道（近似为圆），忽略了地球表面的起伏（近似为球）等因素。以上的计算过程和实际值具有一定误差，而上面那个网页是用经验公式求得的，更为精确。

注1：为了方便，也可以夏至（或秋分，冬至）作为起算点。不过需要对应的加上。

注2：这是一个近似的做法，其依据是太阳日出的过程并不长，可以把弧段近似看作线段。但这一点只能在中低纬度地区得到保证。对精确解法有兴趣的同学，可以试着动手算一算。