ACM程序设计大赛校内选拔赛初赛的一道题目:Spanning trees in a fan

Description

A fan of order n is a graph on the vertices { 0, 1, ..., n } with 2n-1 edges defined as follows:
Vertex 0 is connected by an edge to each of the other n vertices, and vertex k is connected by an edge to vertex k+1, for 1<=kHere, for example, is the fan of order 3, which has four vertices and five edges.

The problem is: how many spanning trees are in such a graph?
A spanning tree is a subgraph containing all the vertices, and containing enough edges to make the subgraph connected yet not so many that it has a cycle.
The following shows all the spanning trees of fan of order 2.

Input

The input contains multiple test cases.
For each test case, there is one integer n (1<=n<=10000) in a line, indicate a fan of order n
A line with a single zero ends the input and should not be processed.

Output

The number of different spanning tree in the fan, moduled by 10000.

Sample Input

1
2
3
4
0

Sample Output

1
3
8
21

 这道习题是川大ACM程序设计大赛中的初试的一道题目，可以在http://acm.scu.edu.cn/soj/problem.action?id=2484上找到。

我的解题思路:

  针对Spanning tree的特点，可以发现，其实这个问题是递归的，既是可以通过子spanning trees来构成一个大的spanning trees。

   n+1个节点的spanning tree在节点(1,2,3,...,n}上，可以把{1,2,3,...,n}分成m个组，每个组内的节点编号是连续的，但是个数可以不相同。比如，(1,2,3),(4,5,6,7),(8,9),(10,...),...等等组。可以发现这个n+1个节点的spanning trees完全可以由{1,2,3},{4,5,6,7},{8,9},{10,...},...这些子的spanning trees构成，这些子spanning trees的底边是连通的。由于不能有环，又由于他们的底边是连通的，那么(1,2,3),(4,5,6,7)这些组中只能取某一个节点与0节点连接，构成子spanning trees。那么，k个节点的组可以有k个不同取法，也就是说，可以构成k个spanning tree。那么n+1个节点的spanning trees的个数就是每个子spanning trees的个数乘以子spanning trees的组合方式的情况个数。

   下面的问题就变成一个简单的数的排列组合问题了。既是{1,2,3,...,n}可以分成多少个组，要求组内的数字是连续的。这个问题也可以通过递归来解决。

   我是这样来看待分组的分配的：
  (1),{2,3,..n}
  (1,2),{3,4,...,n}
  (1,2,3),{4,5,..,n}
  ...
  (1,2,3,...,n-1),{n}
  (1,2,3,4,...,n)
  可能你会说，为什么都是只考虑两个分组？注意了，这里列出的并非是分组的情况。小括号才是分组的括号，而大括号是分组的所有组合的集合，比如(1,2),(3),(4,5,...,n)其实就包含在了(1,2),{3,4,..,n}中了，因为{3,4,...,n}集合里面就包含了(3),(4,5,...,n)这种分组了。

  一个k个节点的组，必须取且只能取一个点与0节点连接，就形成一个子spanning tree，所以k个节点的组有k中spanning tree的构成方式。

  既然发现了问题是递归的，那么我们可以来构造递归式了。如果n+1个节点的spanning trees解为S(n)，根据上面的分组的分配方式，可以看到每种分配方式对应的解的个数

  (1),{2,3,..n}                          1*S(n-1)
  (1,2),{3,4,...,n}                     2*S(n-2)
  (1,2,3),{4,5,..,n}                   3*S(n-3)
  ...                                            ...
  (1,2,3,...,n-1),{n}                  (n-1)*S(1)
  (1,2,3,...,n)                           n

则可以列出下面的公式：

  S(n) = S(n-1) + 2*S(n-2) + 3*S(n-3) + 4*S(n-4) + ... + (n-1)*S(1) + n

  S(1) = 1

有了这样的公式，直接写递归函数，就可以很容易求出这道题目的解，但是仅仅这样是不够的。ACM的题目大部分都设置了算法运行时间的限制，这个递归式还有点复杂，其实还可以进一步简化的。

下面是简化的推导：

  S(n-1) = S(n-2) + 2*S(n-3) + ... + (n-2)*S(1) + n-1
=>  S(n) - S(n-1) = S(n-1) + S(n-2) + S(n-3) + ... + 1
=>  S(n) = 2*S(n-1) + S(n-2) + S(n-3) + ... +1
=>  S(n-1) = 2*S(n-2) + S(n-3) + ... + 1
=>  S(n) - S(n-1) = 2*S(n-1) - S(n-2)
=>  S(n) = 3*S(n-1) - S(n-2)

最后得到一个简单的递归式： S(n) = 3*S(n-1) - S(n-2)

利用这个递归式写出的程序，已经可以通过ACM的Online Judge的Accpeted了。但是还有更简单的算法没？或许我们应该把S(n)的通项公式求出来，说不定就能得到一个O(1)的算法。

根据上面的递归式求S(n)的通项公式的方法在中学数学里面已经学过了，任何一个上述递归式，都可以通过特征根求解的方式求出通项公式出来，至于特征根方程的构造，这里有个网址上面有介绍：

 

我的解题程序：

 1// SOJ2484.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
2//
3
4#include <stdio.h>
5#include <stdlib.h>
6#include <string.h>
7
8#define MAX_NUM_S 10000
9#define MOD 10000
10
11long g_S[MAX_NUM_S];
12
13/**//*
14S(n) = 3*S(n-1) - S(n-2)
15*/
16int S(int n)
17...{
18    if(n == 1)
19        return 1;
20    else if(n == 2)
21        return 3;
22
23    if(g_S[n] != 0)
24        return g_S[n];
25
26    int sum = (3*S(n-1)- S(n-2))%MOD;
27    g_S[n] = sum;
28    return sum;
29}
30
31
32int main()
33...{
34    int N;
35    memset(g_S, 0, MAX_NUM_S*sizeof(long));
36    while(1)
37    ...{
38        scanf("%d",&N);
39        if(N == 0)
40            break;
41        printf("%ld\n",S(N));
42    }
43    return 0;
44}