第四章 串
串（即字符串）是一种特殊的线性表，它的数据元素仅由一个字符组成，计算机非数值处理的对象经常是字符串数据，如在汇编和高级语言的编译程序中，源程序和目标程序都是字符串数据；在事物处理程序中，顾客的姓名、地址、货物的产地、名称等，一般也是作为字符串处理的。另外串还具有自身的特性，常常把一个串作为一个整体来处理，因此，在这一章我们把串作为独立结构的概念加以研究，介绍串的串的存储结构及基本运算。
4.1 串及其基本运算
4.1.1 串的基本概念
１．串的定义
串是由零个或多个任意字符组成的字符序列。一般记作：
s=＂s1 s2 … sn＂＂
其中s 是串名；在本书中，用双引号作为串的定界符，引号引起来的字符序列为串值，引号本身不属于串的内容；ai(1<=i<=n)是一个任意字符，它称为串的元素，是构成串的基本单位，i是它在整个串中的序号; n为串的长度，表示串中所包含的字符个数，当n=0时，称为空串，通常记为Ф。
２．几个术语
子串与主串：串中任意连续的字符组成的子序列称为该串的子串。包含子串的串相应地称为主串。
子串的位置：子串的第一个字符在主串中的序号称为子串的位置。
串相等：称两个串是相等的，是指两个串的长度相等且对应字符都相等。
4.1.2 串的基本运算
串的运算有很多，下面介绍部分基本运算：
１． 求串长StrLength(s)
操作条件：串s存在
操作结果：求出串s的长度。
２． 串赋值StrAssign(s1,s2)
操作条件： s1是一个串变量，s2或者是一个串常量，或者是一个串变量（通常s2 是一个串常量时称为串赋值，是一个串变量称为串拷贝）。
操作结果：将s2的串值赋值给s1， s1原来的值被覆盖掉。
３． 连接操作 ：StrConcat (s1,s2,s) 或StrConcat (s1,s2)
操作条件：串s1,s2存在。
操作结果：两个串的联接就是将一个串的串值紧接着放在另一个串的后面，连接成一 个串。前者是产生新串s，s1和s2不改变; 后者是在s1的后面联接s2的串值，s1改变， s2不改变。
例如： s1=＂he＂，s2=＂ bei＂，前者操作结果是s=＂he bei＂；后者操作结果是s1=＂he bei＂。
４． 求子串SubStr (s,i,len)：
操作条件：串s存在，1≤i≤StrLength(s)，0≤len≤StrLength(s)-i+1。
操作结果：返回从串s的第i个字符开始的长度为 len 的子串。len=0得到的是空串。
例如：SubStr(＂abcdefghi＂,3,4)= ＂cdef＂
５． 串比较 StrCmp(s1,s2)
操作条件：串s1,s2存在。
操作结果：若s1==s2，操作返回值为0；若s1s2, 返回值>0。
６． 子串定位 StrIndex(s,t)：找子串t在主串s中首次出现的位置
操作条件：串s,t存在。
操作结果：若t∈s，则操作返回t在s中首次出现的位置，否则返回值为-1。
如：StrIndex(＂abcdebda＂,＂bc＂)=2
StrIndex(＂abcdebda＂,＂ba＂)=-1
７． 串插入 StrInsert(s,i,t)
操作条件：串s,t存在，1≤i≤StrLength(s)+1。
操作结果：将串t插入到串s 的第i个字符位置上，s的串值发生改变。
８． 串删除 StrDelete(s,i,len)
操作条件：串s存在，1≤i≤StrLength(s)，0≤len≤StrLength(s)-i+1。
操作结果：删除串s 中从第i个字符开始的长度为len的子串，s的串值改变。
９． 串替换 StrRep(s,t,r)
操作条件：串s,t,r存在，t不为空。
操作结果：用串r 替换串s中出现的所有与串t相等的不重叠的子串，s的串值改变。
以上是串的几个基本操作。其中前５个操作是最为基本的，它们不能用其他的操作来合成，因此通常将这５个基本操作称为最小操作集。
4.2 串的定长顺序存储及基本运算
因为串是数据元素类型为字符型的线性表，所以线性表的存储方式仍适用于串，也因为字符的特殊性和字符串经常作为一个整体来处理的特点，串在存储时还有一些与一般线性表不同之处。
4.2.1 串的定长顺序存储
类似于顺序表，用一组地址连续的存储单元存储串值中的字符序列，所谓定长是指按预定义的大小，为每一个串变量分配一个固定长度的存储区，如：
#define MAXSIZE 256
char s[MAXSIZE];
则串的最大长度不能超过256。
如何标识实际长度？
1. 类似顺序表，用一个指针来指向最后一个字符，这样表示的串描述如下：
typedef struct
{ char data[MAXSIZE];
int curlen;
} SeqString;
定义一个串变量：SeqString s;
这种存储方式可以直接得到串的长度：s.curlen+1。如图4.1所示。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... MAXSIZE-1
a b c d e f g h i j k …
图4.1 串的顺序存储方式1
2. 在串尾存储一个不会在串中出现的特殊字符作为串的终结符，以此表示串的结尾。比如C语言中处理定长串的方法就是这样的，它是用’\0’来表示串的结束。这种存储方法不能直接得到串的长度，是用判断当前字符是否是’\0’来确定串是否结束，从而求得串的长度。
char s[MAXSIZE];
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... MAXSIZE-1
a b c d e f g h i j k \0 …
图4.2 串的顺序存储方式2
3. 设定长串存储空间：char s[MAXSIZE+1]; 用s[0]存放串的实际长度，串值存放在s[1]~s[MAXSIZE]，字符的序号和存储位置一致，应用更为方便。
4.2.2 定长顺序串的基本运算
本小节主要讨论定长串联接、求子串、串比较算法，顺序串的插入和删除等运算基本与顺序表相同，在此不在赘述。串定位在下一小节讨论，设串结束用＇\0＇来标识。
1．串联接：把两个串s1和s2首尾连接成一个新串s ，即：s<=s1+s2。
int StrConcat1(s1,s2,s)
char s1[],s2[],s[];
{ int i=0 , j, len1, len2;
len1= StrLength(s1); len2= StrLength(s2)
if (len1+ len2>MAXSIZE-1) return 0 ; /* s长度不够*/
j=0;
while(s1[j]!=’\0’) { s=s1[j];i++; j++; }
j=0;
while(s2[j]!=’\0’) { s=s2[j];i++; j++; }
s=’\0’; return 1;
}
算法 4.1
２．求子串
int StrSub (char *t, char *s, int i, int len)
/* 用t返回串s中第个i字符开始的长度为len 的子串1≤i≤串长*/
{ int slen;
slen=StrLength(s);
if ( i<1 || i>slen || len<0 || len>slen-i+1)
{ printf(＂参数不对＂); return 0; }
for (j=0; jt[j]=s[i+j-1];
t[j]=’\0’;
return 1;
}
算法 4.2
３． 串比较
int StrComp(char *s1, char *s2)
{ int i=0;
while (s1==s2 && s1!=’\0’) i++;
return (s1-s2);
}
算法 4.3
4.2.3 模式匹配
串的模式匹配即子串定位是一种重要的串运算。设s和t是给定的两个串，在主串s中找到等于子串t的过程称为模式匹配，如果在s中找到等于t的子串，则称匹配成功，函数返回t在s中的首次出现的存储位置(或序号)，否则匹配失败，返回-1。t也称为模式。为了运算方便，设字符串的长度存放在0号单元，串值从1号单元存放，这样字符序号与存储位置一致。
１．简单的模式匹配算法
算法思想如下：首先将s1与t1进行比较，若不同，就将s2与t1进行比较，...，直到s的某一个字符si和t1相同，再将它们之后的字符进行比较，若也相同，则如此继续往下比较，当s的某一个字符si与t的字符tj不同时，则s返回到本趟开始字符的下一个字符，即si-j+2，t返回到t1，继续开始下一趟的比较，重复上述过程。若t中的字符全部比完，则说明本趟匹配成功，本趟的起始位置是i-j+1或i-t[0]，否则，匹配失败。
设主串s=＂ababcabcacbab＂，模式t=＂abcac＂，匹配过程如图4.3所示。
依据这个思想，算法描述如下:
int StrIndex_BF (char *s,char *t)
/*从串s的第一个字符开始找首次与串t相等的子串*/
{ int i=1,j=1;
while (i<=s[0] && j<=t[0] ) /*都没遇到结束符*/
if (s==t[j])
{ i++;j++; } /*继续*/
else
{i=i-j+2; j=1; } /*回溯*/
if (j>t[0]) return (i-t[0]); /*匹配成功，返回存储位置*/
else return –1;
}
算法 4.4
该算法简称为BF算法。下面分析它的时间复杂度，设串s长度为n，串t长度为m。
匹配成功的情况下，考虑两种极端情况：
在最好情况下，每趟不成功的匹配都发生在第一对字符比较时：
例如：s=＂aaaaaaaaaabc＂
t=＂bc＂
设匹配成功发生在si处，则字符比较次数在前面i-1趟匹配中共比较了i-1次，第i趟成功的匹配共比较了m次，所以总共比较了i-1+m次，所有匹配成功的可能共有n-m+1种，设从si开始与t串匹配成功的概率为pi，在等概率情况下pi=1/(n-m+1)，因此最好情况下平均比较的次数是：
即最好情况下的时间复杂度是O(n+m)。
在最坏情况下，每趟不成功的匹配都发生在t的最后一个字符：
例如：s=＂aaaaaaaaaaab＂
t=＂aaab＂
设匹配成功发生在si处，则在前面i-1趟匹配中共比较了(i-1)*m次，第i趟成功的匹配共比较了m次，所以总共比较了i*m次，因此最坏好情况下平均比较的次数是：
即最坏情况下的时间复杂度是O(n*m)。
上述算法中匹配是从s串的第一个字符开始的，有时算法要求从指定位置开始，这时算法的参数表中要加一个位置参数pos：StrIndex(shar *s,int pos,char *t)，比较的初始位置定位在pos处。算法4.4是pos=1的情况。
*２．改进后的模式匹配算法
BF算法简单但效率较低，一种对BF算法做了很大改进的模式匹配算法是克努特(Knuth)，莫里斯(Morris)和普拉特(Pratt)同时设计的，简称KMP算法。
(1) KMP算法的思想
分析算法4.4的执行过程, 造成BF算法速度慢的原因是回溯，即在某趟的匹配过程失败后，对于s串要回到本趟开始字符的下一个字符，t串要回到第一个字符。而这些回溯并不是必要的。如图4.3所示的匹配过程，在第三趟匹配过程中，s3 ~ s6和t1~ t4是匹配成功的，s7≠t5匹配失败，因此有了第四趟，其实这一趟是不必要的：由图可看出，因为在第三趟中有s4=t2，而t 1≠t2，肯定有t1≠s4 。同理第五趟也是没有必要的，所以从第三趟之后可以直接到第六趟，进一步分析第六趟中的第一对字符s 6和t1的比较也是多余的，因为第三趟中已经比过了s6和t4，并且s6=t4，而t 1=t4，必有s 6=t1，因此第六趟的比较可以从第二对字符s7和t2开始进行，这就是说，第三趟匹配失败后，指针i不动，而是将模式串t向右“滑动”，用t2 “对准” s 7继续进行，依此类推。这样的处理方法指针i 是无回溯的。
综上所述，希望某趟在si和tj匹配失败后，指针i不回溯，模式t向右“滑动”至某个位置上，使得tk 对准 s i 继续向右进行。显然，现在问题的关键是串t“滑动”到哪个位置上？不妨设位置为k，即si和tj匹配失败后，指针i不动，模式t向右“滑动”，使tk和si对准继续向右进行比较，要满足这一假设，就要有如下关系成立：
＂t1 t2 … tk-1 ＂ =＂si-k+1 si-k+2 … si-1 ＂ (4.1)
(4.1)式左边是tk前面的k-1个字符，右边是si 前面的k-1个字符。
而本趟匹配失败是在si和tj之处，已经得到的部分匹配结果是：
＂t1 t2 … tj-1 ＂ =＂si-j+1 si-j+2 … si-1 ＂ (4.2)
因为k ＂tj-k+1 tj-k+2 … tj-1 ＂ =＂si-k+1 si-k+2 … si-1 ＂ (4.3)
(4.3)式左边是 tj前面的k-1个字符，右边是si 前面的k-1个字符，
通过(4.1)和(4.3)得到关系：
＂t1 t2 … tk-1 ＂ =＂tj-k+1 tj-k+2 … tj-1 ＂ (4.4)
结论：某趟在si和tj匹配失败后，如果模式串中有满足关系(4)的子串存在，即：模式中的前k-1个字符与模式中tj字符前面的k-1个字符相等时，模式t就可以向右“滑动”至使tk和si对准，继续向右进行比较即可。
（2）next函数
模式中的每一个tj都对应一个k值，由(4.4)式可知，这个k值仅依赖与模式t本身字符序列的构成，而与主串s无关。我们用next[j]表示tj对应的k值，根据以上分析，next函数有如下性质：
① next[j]是一个整数，且0≤next[j]② 为了使t的右移不丢失任何匹配成功的可能，当存在多个满足(4.4)式的k 值时，应取最大的，这样向右“滑动”的距离最短，“滑动”的字符为j-next[j]个。
③ 如果在tj前不存在满足(4.4)式的子串，此时若t1≠tj，则k=1; 若t1=tj，则k=0; 这时“滑动”的最远，为j-1个字符即用t1 和sj+1继续比较。
因此，next函数定义如下 ：
设有模式串：t=＂abcaababc＂，则它的next函数值为：
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9
模式串 a b c a a b a b c
next[j] 0 1 1 0 2 1 3 1 1
(3) KMP算法
在求得模式的next函数之后，匹配可如下进行：假设以指针i和j分别指示主串和模式中的比较字符，令i的初值为pos，j的初值为1。若在匹配过程中si≠tj，则i和j分别增１，若si≠tj 匹配失败后，则i不变，j退到next[j]位置再比较，若相等，则指针各自增１，否则j再退到下一个next值的位置，依此类推。直至下列两种情况：一种是j退到某个next值时字符比较相等，则i和j分别增１继续进行匹配; 另一种是j退到值为零（即模式的第一个字符失配），则此时i和j也要分别增１，表明从主串的下一个字符起和模式重新开始匹配。
设主串s=＂acabaabaabcacaabc＂，子串t=＂abaabcac＂，图4.4是一个利用next函数进行匹配的过程示意图。
在假设已有next函数情况下，KMP算法如下：
int StrIndex_KMP(char *s,char *t,int pos)
/*从串s的第pos个字符开始找首次与串t相等的子串*/
{ int i=pos,j=1,slen,tlen;
while (i<=s[0] && j<=t[0] ) /*都没遇到结束符*/
if (j==0||s==t[j]) { i++; j++; }
else j=next[j]; /*回溯*/
if (j>t[0]) return i-t[0]; /*匹配成功，返回存储位置*/
else return –1;
}
算法4.5
(4)如何求next函数
由以上讨论知，next函数值仅取决于模式本身而和主串无关。我们可以从分析next函数的定义出发用递推的方法求得next函数值。
由定义知：
next[1]=0 (4.5)
设next[j]=k，即有：
＂t1 t2 … tk-1 ＂ =＂tj-k+1 tj-k+2 … tj-1 ＂ (4.6)
next[j+1]=? 可能有两种情况：
第一种情况：若tk ＝tj 则表明在模式串中
＂t1 t2 … tk ＂ =＂tj-k+1 tj-k+2 … tj ＂ (4.7)
这就是说next[j+1]=k+1，即
next[j＋１]=next[j]+1 (4.8)
第二种情况：若tk ≠tj 则表明在模式串中
＂t1 t2 … tk ＂≠＂tj-k+1 tj-k+2 … tj ＂ (4.9)
此时可把求next函数值的问题看成是一个模式匹配问题，整个模式串既是主串又是模式，而当前在匹配的过程中，已有(4.6)式成立，则当tk ≠tj 时应将模式向右滑动，使得第next[k]个字符和“主串”中的第j个字符相比较。若next[k]=k′，且t k′＝tj，则说明在主串中第j+1个字符之前存在一个最大长度为k′的子串，使得
＂t1 t2 … t k′ ＂=＂tj-k′+1 tj- k′+2 … tj ＂ (4.10)
因此： next[j+1]=next[k]+1 (4.11)
同理若t k′ ≠tj，则将模式继续向右滑动至使第next[k′]个字符和tj 对齐，依此类推，直至tj 和模式中的某个字符匹配成功或者不存在任何 k′(1< k′否则若t1=tj+1 ，则有：next[j+1]=0 (4.13)
综上所述，求next函数值过程的算法如下：
void GetNext(char *t,int next[ ])
/*求模式t的next值并寸入next数组中*/
｛ int i=1,j=0;
next[1]=0;
while (i { while (j>0&&t!=t[j]) j=next[j];
i++; j++;
if (t==t[j]) next=next[j];
else next=j;
}
}
算法4.6
算法4.6的时间复杂度是O(m)；所以算法4.5的时间复杂度是O(n*m)，但在一般情况下，实际的执行时间是O(n+m)。当然KMP算法和简单的模式匹配算法相比，增加了很大难度，我们主要学习该算法的设计技巧。
4.3 串的堆存储结构
4.3.1 串名的存储映象
串名的存储映象是串名－串值内存分配对照表，也称为索引表。表的形式有多种表示，如设s1=＂abcdef＂，s2=＂hij＂，常见的串名－串值存储映象索引表有如下几种：
1. 带串长度的索引表
如图4.4所示，索引项的结点类型为：
typedef struct
{ char name[MAXNAME]; /*串名*/
int length; /*串长*/
char *stradr; /*起始地址*/
} LNode;
2. 末尾指针的索引表
如图4.5所示，索引项的结点类型为：
typedef struct
{ char name[MAXNAME]; /*串名*/
char *stradr,*enadr; /*起始地址，末尾地址*/
} ENode;
3. 带特征位的索引表
当一个串的存储空间不超过一个指针的存储空间时，可以直接将该串存在索引项的指针域，这样即节约了存储空间，又提高查找速度，但这时要加一个特征位tag以指出指针域存放的是指针还是串。
如图4.6所示，索引项的结点类型为：
typedef struct
{ char name[MAXNAME];
int tag; /*特征位*/
union /*起始地址或串值*/
{char *stradr;
char value[4];
}uval;
} TNode;
4.3.2 堆存储结构
在应用程序中，参与运算的串变量之间的长度相差较大，并且操作中串值的长度变化也较大，因此为串变量预分配固定大小的空间不尽合理。堆存储结构的基本思想是：在内存中开辟能存储足够多的串、地址连续的存储空间作为应用程序中所有串的可利用存储空间，称为堆空间，如设store[SMAX+1]; 根据每个串的长度，动态的为每个串在堆空间里申请相应大小的存储区域，这个串顺序存储在所申请的存储区域中，当操作过程中若原空间不够了，可以根据串的实际长度重新申请，拷贝原串值后再释放原空间。
如图4.8所示，是一个堆结构示意图。阴影部分是已经为存在的串分配过的，free为未分配部分的起始地址，每当向store中存放一个串时，要填上该串的索引项。
4.3.3 基于堆结构的基本运算
堆结构上的串运算仍然基于字符序列的复制进行，基本思想是：当需要产生一个新串时，要判断堆空间中是否还有存储空间，若有，则从free指针开始划出相应大小的区域为该串的存储区，然后根据运算求出串值，最后建立该串存储映象索引信息，并修改free指针。
设堆空间为： char store[SMAX+1];
自由区指针：int free;
串的存储映象类型如下：
typedef struct
{ int length; /*串长*/
int stradr; /*起始地址*/
} HString;
1. 串常量赋值
void StrAssign(HString *s1,char *s2)
/*将一个字符型数组s2中的字符串送入堆store中,free是自由区的指针*/
{ int i=0,len;
len=StrLength(s2);
if (len<0||free+len-1＞SMAX)
return 0;
else {for (i=0;istore[frre+i] =s2;
s1.stradr=free;
s1.len.=len;
free=free+len;
}
}
算法 4.7
2. 赋值一个串
void StrCopy(Hstring *s1,Hstring s2)
/*该运算将堆store中的一个串s2复制到一个新串s1中*/
{ int i;
if (free+s2.lengt-1>SMAX) return error ;
else { for(i=0; i store[free+i]=store[s2.atradr+i];
s1->length=s2.length;
s1->stradr=free;
free=free+s2.length;
}
}
算法 4.8
3. 求子串
void StrSub(Hstring *t, Hstring s,int i,int len)
/*该运算将串s中第i个字符开始的长度为len 的子串送到一个新串t中*/
{ int i;
if (i<0 || len<0 || len>s.len-i+1) return error ;
else { t->length=len;
t->stradr=s.stradr+i-1;
}
}
算法 4.9
3. 串联接
void Concat(s1,s2,s)
HString s1,s2;
HString *s;
{ HString t;
StrCopy (s,s1);
StrCopy (&t,s2);
s->length=s1.length+s2.length;
}
算法 4.10
以上堆空间和算法是由算法编写者自己设计和编写来实现的，在这里，重点介这种存储的处理思想，很多问题及细节尚未涉及，比如，废弃串的回归、自由区的管理问题等等。在常用的高级语言及开发环境中，大多系统本身都提供了串的类型及大量的库函数，用户可直接使用，这样会使算法的设计和调试更方便容易，可靠性更高
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