今天我要给大家介绍一个特殊的函数：Weierstrass函数。这个函数也叫做“Weierstrass椭圆函数”。它是一个很特殊的实函数，在实数轴上处处连续但处处不可微。
这个函数处处连续是很容易证明的。上式右边的函数项级数的每一项的绝对值都小于等于an,根据Weierstrass的优级数判别法(M-test)可得它一致收敛于f(x)。又由于每一项都连续，可知其极限函数f(x)连续。证明它处处不可微是很难的一件事情，起码我现在还证不出来。
可以说，Weierstrass对这个病态函数的发现在数学史上占有很重要的地位。它的出现改变了人们对于可微性和连续性传统的看法，即每一个连续函数除有限点外都是可微的(或更严格的说，在那之前，包括高斯在内的当时的一些伟大的数学家，都认为连续函数的不可导点至多是可列集)。
之所以出现这种现象，是因为在当时函数的表示手段有限。随着级数理论的发展，函数表示的手段扩展了，数学家可以通过函数项级数来表示更广泛的函数类。Weierstrass作为一位研究级数理论的大师于1872年发现这个函数。可以说，Weierstrass的这个函数是分形这门数学分支产生的起点，尽管在这之后很久“分形”的概念才被提出来。
所谓“分形”，就是指几何上的一种“形”，它的局部与整体按某种方式具有相似性。“形”的这种性质又称为“自相似性”。下面是Weierstrass函数的图像，从中可以看出这个性质：
正是这处处连续处处不可微的函数引起了伟大的数学家康托的兴趣，它将这种情况用新的理论体系进行了研究，即康托集，为分形学打下了基础。20世纪70年代，曼得布罗特将分形学提高到另一个高度，他的论文“英国海岸线有多长”在science上发表，引起了学术界的轰动。他的基本意思是用不同的尺子量处处连续处处不可微的曲线会有不同的长度。这是显而易见的，用一米的尺子和一公里的尺子量英国的海岸线结果肯定不一样，用大尺子量出来的结果肯定比小尺子量出的结果小得多，因为大尺子量不到小尺子能量到的弯曲（处处不光滑）。但是关键是寻找出用不同尺子测量某一“处处连续处处不可微”线段（如英国海岸线,云彩的边界,山峰的轮廓,曲折的河流,无规则裂缝…）得到的不同长度与相应的尺子之间的不变量！曼得布罗特成功了，这个不变量就是分维数！通常我们认为直线是一维的，平面是二维的，但是谁也没有想过曲线是几维的，分形理论告诉我们，这个维数是分数。这从根本上动摇了牛顿-莱布尼茨的微积分理论，他们认为导数、积分只是在整数范围内的，即一次、二次导数，积分、二重积分、三重积分，而分形理论中可以出现3.14次导数,2.718重积分。牛顿-莱布尼茨的微积分只是曼得布罗特分形理论的特例！就像牛顿的经典力学只是爱因斯坦的相对论在特定条件下的特例！ 所以，在80年代90年代，随之而起的分形与混沌理论主导了学术界，各个学科都将分形与混沌理论与自己嫁接。在通信（小波变换），信息安全（信息保密技术）、非线性力学等领域有了快速发展。混沌理论是分形理论的进一步深化，混沌理论的基本思想是“自相似”，特定的条件得到非特定的结果，这与经典力学的概念是相抵触的，经典力学是可知学科，即给定初始条件，便能得到确定的结果，如导弹飞行，卫星环绕地球。但是有些现象是经典力学不能解释的，如大气运动，尤其是天气的变化，谁也不能准确预测一个地区一个星期以后准确的温度、风向、乃至雷雨天晴，这些是不确定的，是初始条件敏感的，即自变量的一个微小变化将引起因变量不可想像的巨大变化。
分形作为一门新生学科，对音乐、美术也产生了一定的影响。 它所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索，使人们觉悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美上的统一，使昨日枯燥的数学不再仅仅是抽象的哲理，而是具体的感受；不再仅仅是揭示一类存在，而是一种艺术创作。可以说，分形搭起了科学与艺术的桥梁。
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