用 GAP 计算有限域

一、有限域元素

Z(p,d) 或 Z( p^d)

得到的是 GF(p, d) 的本原元。其它元素可以表示为 Z(p^d) 的方幂。

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二、有限域元素的运算

• Zero(z)
  加法单位
  
  
• One(z)
  乘法单位
  
  
• Characteristic
• Order
• Inverse
• DegreeFFE(z)
  包含 b 的最小扩张次数（相对于素域）。此函数之参数可为单个元素，一个向量或一个矩阵。
  
  
• LogFFE(z,r)
  离散对数，r^i = z
  
  
• IntFFE(z)
  z 必须在素域中，计算 z 对应的整数表示。
  此函数参数不可为向量。见 IntVecFFE
  
  
• IntFFESymm(z)
  设 z 在素域 Zp 中，z 可以自然地看作一个整数。此函数计算 z 模 p 的最小绝对剩余。
  IntFFESymm(vec)
  
  
• IntVecFFE
  IntFFE 的向量版

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三、创建有限域

• DefaultField
  包含指定元素（组）的最小有限域
  
  
• GaloisField, GF
  
  • GF(p, d), GF(p^d)
  • GF(subfield, d)
  • GF(subfield, poly)
  • GF(p, poly)
    
    
• GaloisGroup, Size
  
• BasisVectors
• PrimitiveRoot
• DefiningPolynomial
• RootOfDefiningPolynomial

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四、Frobenius 自同构

• FrobeniusAutomorphism
  生成 Frobenius 自同构
  

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五、Conway Polynomial

• ConwayPolynomial(p, n)
• IsCheapConwayPolynomial(p, n)
• RandomPrimitivePolynomial(F, n)

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六、输出

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例子 1：

生成有限域 F2[x]/(x^3+x+1)，已知 f=x^3+x+1 在 F2 上本原。设 a 为 f 的一个根，计算 a^2+a+1 对 a 的离散对数。

F2:=GF(2);
x:=Indeterminate(F2, "x");
f:=x^3+x+1;
F:=GF(F2, f);
a:=PrimitiveRoot(F);
Print(LogFFE(a^2+a+1, a), "\n");

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例子 2：

f=x^4+x+1 在 GF(2) 上本原，f(a)=0。计算 F2[x]/(f) 中元素的基表示。

F2:=GF(2);
x:=Indeterminate(F2, "x");
f:=x^4+x+1;
F16:=GF(2, f);
a:=PrimitiveRoot(F16);
B:=Basis(F16);
for i in [0..Size(F16)-1] do
    Print (i, " ", Reversed(IntVecFFE(Coefficients(B, a^i))), "\n");
od;

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例子：求素数的原根

IntFFE(Z(p)) # 这个算是有限域计算的附属功能。
IntFFE(PrimitiveRoot(GF(7)));

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