小波（wavelet）

顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，
其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，
它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，
能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，
成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。

简单的说，
  傅立叶变换只用到了正余弦函数族，而小波则利用了更丰富的一组函数族来表达信号所
包含的信息。
这样理解可以否？？

“傅立叶分析只能获得信号的整个频谱，而难以获得信号的局部特性，特别是对于突变信号和非平稳信号
难以获得希望的结果”
就是说，时域连续的信号 在傅立叶函数族为基的空间中可以获得良好的表达，但对于时域不连续或者
有突异的信号，傅立叶变换后不够连续，表达的不够好，小波是对此的一个革新。

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  对比CS理论，要求信号在测量域（类比傅里叶变换）与重构域（类比反变换）一个是连续的，一个是
稀疏的。
    唯象一点，信号稀疏性所以有了变换的意义（信息是离散的），而连续则表示能够完整的（比较完整）
的表达可能的全部信息。
 抽象上来理解，这样对否？<--



小波变换有如下性质：

（1）小波变换是一个满足能量守恒方程的线形运算，它把一个信号分解成对空间和尺度（即时间和频率）的
独立贡献，同时又不失原信号所包含的信息；

（2）小波变换相当于一个具有放大、缩小和平移等功能的数学显微镜，通过检查不同放大倍数下信号的变化
来研究其动态特性；

（3）小波变换不一定要求是正交的，小波基不惟一。小波函数系的时宽-带宽积很小，且在时间和频率轴上
都很集中，即展开系数的能量很集中；

（4）小波变换巧妙地利用了非均匀的分辨率，较好地解决了时间和频率分辨率的矛盾；在低频段用高的频率
分辨率和低的时间分辨率（宽的分析窗口），而在高频段则用低的频率分辨率和高的时间分辨率（窄的分析
窗口），这与时变信号的特征一致；

（5）小波变换将信号分解为在对数坐标中具有相同大小频带的集合，这种以非线形的对数方式而不是以线形
方式处理频率的方法对时变信号具有明显的优越性；

（6）小波变换是稳定的，是一个信号的冗余表示。由于a、b是连续变化的，相邻分析窗的绝大部分是相互
重叠的，相关性很强；

（7）小波变换同傅立叶变换一样，具有统一性和相似性，其正反变换具有完美的对称性。小波变换具有基于
卷积和QMF的塔形快速算法。