求自然数序列之和

    这是一个数学问题，学过高中数学的应该都会。
    对于自然数数列：1，2……n，进行求和，使用求和公式1+2+……+n=n*(n+1)/2即可；
    对于自然数平方的数列：1^2，2^2……n^2，进行求和，使用求和公式：1^2+2^2+……+n^2=n*(n+1)*(2n+1)/6即可；
    对于自然数立方的数列：1^3，2^3……n^3，进行求和，使用求和公式：1^3+2^3+……+n^3=n*n*(n+1)*(n+1)/4即可；
    综上，我们很容易使用C语言写出如下的求和代码：

typedef unsigned long ulong;

//求自然数的数列之和
ulong natural_number_sequence_sum( ulong n)
{
    return (ulong)(n*(n+1)/2);
}

//求自然数平方的数列之和
ulong natural_number_sequence_square_sum( ulong n)
{
    return (ulong)(n*(n+1)*(2*n+1)/6);
}

//求自然数立方的数列之和
ulong natural_number_sequence_cube_sum( ulong n)
{
    return (ulong)(n*n*(n+1)*(n+1)/4);
}

    Oh，yeah~!这么简单：）
    别着急，请问：
    对于自然数的四次方的数列：1^4，2^4……n^4，进行求和，使用求和公式：1^4+2^4+……+n^4=？
    对于自然数的五次方的数列：1^5，2^5…n^5，进行求和，使用求和公式：1^5+2^5+……+n^5=？
    ……
    对于自然数的m（m∈N）次方的数列：1^m，2^m……n^m，进行求和，使用求和公式：1^m+2^m+……+n^m=？
    -_-""
    毛主席说过：只要了解了一个问题的历史和现状，就会找到解决问题的方法。看看以前我们怎么求那些平方和与立方和的，先看平方和求法：

求1^2 + 2^2 + …… + n^2 = ？

解：
(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1

所以
(n+1)^3 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1
n^3 - (n-1)^3 = 3(n-1)^2 + 3(n-1) + 1
(n-1)^3 - (n-2)^3 = 3(n-2)^2 + 3(n-2) + 1
............
3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 +1

把以上n个等式的两边分别相加得到
(n+1)^3-1^3 =
3×(1^2+2^2+3^2+...+n^2) + 3×(1+2+3+……+n) + n个1的和

(n+1)^3-1 = 3×(1^2+2^2+...+n^2) + 3×n×(n+1)/2 + n

所以
3(1^2+2^2+......+n^2)
= n^3 + 3n^2 + 3n - 3n(n+1)/2 - n
= n(n^2+3n+2) - 3n(n+1)/2
= n(n+1)(n+2)-3n(n+1)/2
= n(n+1)(2n+1)/2

最后
1^2+2^2+......+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6.

立方和的求法与平方和求法类似，不再赘述。
    回头看看那个求m次方的问题，就会有这样一个思路：要求m次方之和，必须先求出m-1次方之和；
要求m-1次方之和，必须先求出m-2次方之和；……直到所有相关的（1、2或3）次方和都被求出。
    哈哈，原来这个问题可以用递归的方法解决。其实，递归也是一个方法。还有一个方法：直接求出一个二元函数，变元分别为m、n；然后将m、n值代入函数即可得解。