n-1的由来——样本方差无偏估计证明推导公式

x1,x2,...xn是n个可以自由变化的样本，互不影响。

而x1-xbar, x2-xbar,...xn-xbar是否也是n个自由变化的呢？不是……因为这n个统计量受到一个约束条件的影响
就是之和等于0。如果我们记 yi=xi-xbar,也就是说y1+y2+...yn=0,

这样我们可以任意变动其中n－1值，比如取定了y1,y2,...y(n-1)，那么yn就不能任意变化，

yn=-(y1+y2+y(n-1))。

这个只是从自由变化的角度直观解释





证明S2(x)=1/(n-1)∑[xi-E(x)]2为var2(x)的无偏估计

需证明E(S2)=var2(x)

∑[xi-E(x)]2=∑[xi-1/n∑xj]2，∑条件为j=1→n

=1/n2∑[(n-1)xi-∑xj]2，∑条件为j=1→n且j≠i

=1/n2∑[(n-1)2xi2-2(n-1)∑(xi xj)+ ∑xj2+2∑xj xz]，∑条件为j=1→n，z=1→n，且j≠z≠i

E∑[xi-E(x)]2=1/n2∑[(n-1)2 E(xi2)-2(n-1)∑E (xixj)+ ∑E (xj2)+2∑E(xjxz)]，

知抽样样本相互独立E (xixj)=E(xi)E(xj)，且var(x)= E(x2)- E(x)2，且∑有n项，∑有n项，∑有n-1项，
∑有(n-1)(n-2)/2项

E∑[x-E(x)]2=1/n2∑[(n-1)2E(xi2)-2(n-1)(n-1)E(x)2+(n-1)E(xj2)+(n-1)(n-2)E(x)2]，

=1/n2∑[(n-1)2 var2(x)+ (n-1) var2(x)]，

=1/n2 * n *[(n-1)2 var2(x)+ (n-1) var2(x)]

=(n-1) var2(x)

所以E(S2)=var2(x)


自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的数据的个数称为
该统计量的自由度。如果E(x)为一常数u，那么 var2(x)=1/n∑(x-u)2 。抽样样本方差估计中
 E(x)由样本本身确定。当平均数的值和其中n-1个数据的值已知时，另一个数据的值就不能自由
变化了，因此样本方差无偏估计的自由度为n-1。