直线光栅化
直线光栅化是指用像素点来模拟直线. 比如下图中用蓝色的像素点来模拟红色的直线. 图中坐标系是显示器上的坐标系: x轴向右, y轴向下.
设deltaX = endX – startX, deltaY = endY – startY. 那么斜率为k = deltaY / deltaX. 我们先考虑简单的情况: 当 0 < k < 1即直线更贴近x轴. 在这种情况下deltaY < deltaX, 所以在光栅化的过程中, 在y轴上描的点比在x轴上描点少. 那么就有一个很直观的光栅化算法:
line_bresenham(startX, startY, endX, endY)
{deltaX = endX - startX;
deltaY = endY - startY;
k = deltaY / deltaX;
for (x = startX, y = startY; x <= endX; ++x) { if (满足一定条件) {++y;
}
drawPixel(x, y);
}
}
基于斜率 / 距离的两个简单直线光栅化算法
好了，貌似很简单, 就剩一个问题: “满足一定条件”是什么? 可以用斜率判断, 也可以用上图中直线与光栅线交点 (红点) 与光栅点 (蓝点) 的距离来判断. 继续用伪代码说话:
// 算法1: 用斜率判断void line_bresenham_k(startX, startY, endX, endY){deltaX = endX - startX;
deltaY = endY - startY;
k = deltaY / deltaX;
for (x = startX, y = startY; x <= endX; ++x) { if (x - startX != 0) { // 计算当前斜率currentK = (y - startY) / (x - startX);
// 如果当前斜率 < k, 则增加y坐标if (currentK < k)//保证像素点绘制的“直线”的斜率在K的附近(两侧)
{++y
}
}
drawPixel(x, y);
}
}
// 算法2: 用距离判断. 计算直线与光栅线交点y坐标我们需要用到// 直线方程 y = k (x - startX) + startYline_bresenham_dist(startX, startY, endX, endY)
{deltaX = endX - startX;
deltaY = endY - startY;
k = deltaY / deltaX;
for (x = startX, y = startY; x <= endX; ++x) { // 计算直线与光栅线交点的y坐标, 以及与光栅点的距离ptY = k * (x - startX) + startY;
dist = ptY - y;
// 如果距离 > 0.5或者 < -0.5, 说明我们需要增加y以 // 将距离的绝对值控制在0.5之类 if (dist > 0.5 || dist < -0.5) {++y;
}
drawPixel(x, y);
}
}
注意这两个方法绘制的直线是不一样的!
消灭浮点数!
以上都是很直观的算法, 下面不直观的来了 - 上面的算法都需要在循环体内执行乘法, 准确的说, 是进行浮点数的乘法. 我们怎么能减少这些浮点数的乘法开销呢? 以基于距离的算法2为例: 首先, k是一个浮点数, 0.5也是浮点数. 我们可以通过将这些表达式都乘以2 * deltaX (整数) 来解决浮点数的问题. 伪代码:
// 算法3: 在算法2的基础上消灭浮点数!line_bresenham_dist(startX, startY, endX, endY)
{deltaX = endX - startX;
deltaY = endY - startY;
for (x = startX, y = startY; x <= endX; ++x) { // 计算直线与光栅线交点的y坐标, 以及与光栅点的距离ptY1 = deltaY * (x - startX) + startY * deltaX;
dist1 = ptY1 - y * deltaX;
dist1 = dist1 << 1; // dist1 = dist1 * 2 // 如果距离 > 0.5或者 < -0.5, 说明我们需要增加y以 // 将距离的绝对值控制在0.5之类 if (dist1 > deltaX || dist < -deltaX) {++y;
}
drawPixel(x, y);
}
}
消灭乘法!
圆满解决浮点数运算问题! 不过…乘法运算还在. 消灭乘法问题的办法比较不直观, 让我们想一想: 还有什么办法能简化运算. 直线方程已经不能再简化, 所以唯一的突破口就是能不能利用递推 / 用上一次循环的计算结果推导下一次循环的计算结果.
首先我们来看看在算法2的基础上 (因为算法2计算红点蓝点之间的距离, 比较直观), 怎么通过第n - 1次循环计算出的dist值 (设为d1)
来推导出第n次循环的dist值 (设为d2). 先回顾一下: dist = 直线与光栅线交点的y坐标 - 相应光栅点的y坐标. 我们从几何上直观地考虑:
在第n次循环中, 我们先根据上一次循环所计算出来的d1, 暂时令d2 = d1 + k, 因为我们要保证-0.5 < d2 < 0.5, 而d1 +
k满足d1 + k > –0.5, 所以我们只需要考虑当d1 + k > 0.5时, 我们需要将光栅点y坐标增加1, 并且将d2减去1. 显然,
设y1是第n - 1次循环中光栅点的y坐标, y2是第n次循环中光栅点的y坐标. 我们有
1) d2 = d1 + k – (y2 –
y1)
2) 当d1 + k > 0.5时y2 = y1 + 1, 否则y2 = y1
我们已经能根据上面的两个关系式写出算法,
不过为了消除乘法和浮点数, 我们将这两个关系式两端同时乘以2 * deltaX, 并且设e = 2 * deltaX * d, 则我们有
3) e2 =
e1 + 2 * deltaY – 2 * deltaX * (y2 – y1)
4) 当e1 + 2 * deltaY > deltaX时y2 =
y1 + 1, 否则y2 = y1
终于, 没有了乘法 (2 * deltaY在循环体外计算且被简化为左移一位的运算), 没有了浮点数, 根据关系式3)
和 4), 写出算法:
// 算法4: 在算法2, 3的基础上利用递推消灭乘法和浮点数!line_bresenham(startX, startY, endX, endY)
{deltaX = endX - startX;
deltaY = endY - startY;
e = 0;
deltaX2 = deltaX << 1;
deltaY2 = deltaY << 1;
drawPixel(startX, startY);
for (x = startX + 1, y = startY; x <= endX; ++x) { // 关系式3) e2 = e1 + 2 * deltaY – 2 * deltaX * (y2 – y1) // 关系式4) 当e1 + 2 * deltaY > deltaX时y2 = y1 + 1, 否则y2 = y1e += deltaY2;
if (e > deltaX) {e -= deltaX2;
++y;
}
drawPixel(x, y);
}
}