坐标变换

坐标变换


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摘要
　　坐标变换是图形学中很基本的操作。无论绘制二维还是三维图形都会遇到。下面将会讲到：

1. 如何根据坐标架进行点的坐标变换。
2. 如何根据坐标架生成变换矩阵。
3. 如何通过矩阵作点的坐标变换。
4. 曲线、曲面方程如何作变换。

１、如何根据坐标架进行点的坐标变换

首先坐标架定义成：

struct PNT3D{

	double x,y,z;

};



struct FRAME{

	PNT3D O, OX, OY, OZ;

};

　　假设有一个点 p 定义在 frame 所在坐标系 WC(World Coordinate) 之中，也就是说 p 在 frame 之外。为了将 p 转入 frame，我们首先需要作平移 p1 = p - frame.O; 这个时候 p1 相当于定义在一个将 WC 平移到 frame.O 的一个坐标架之中。这个坐标架和 frame.O 供用坐标原点，但是三个坐标轴并不一定相同。为了得到 frame 中的三个坐标分量我们只须将 p1 和三个基矢量作点积 ：

WC->frame 变换公式：

p2.x = p1*frame.OX = (p-frame.O)*frame.OX;

p2.y = p1*frame.OY = (p-frame.O)*frame.OY;

p2.z = p1*frame.OZ = (p-frame.O)*frame.OZ;

　　其中 * 代表点积。这里所得到的 p2 就是 WC 中的 p 在 frame 中对应的点。到此为止我们完成了电从坐标架之外变换到坐标架内。同样的，我们也可以采用简单的方法把点从坐标架内变换到坐标架之外。 假设 p 是 frame 之内的点，首先

p1 = p.x*frame.OX   p.y*frame.OY   p.z*frame.OZ;

　　上面的公式将 p 的各个分量作为权值将三个坐标架的基矢量累加起来，得到的 p1 相当于平移 WC 和 frame 重合坐标原点的坐标架中的点。接下来，自然是处理平移

frame->WC 变换公式：

p2 = p1   freame.O;

  = p.x*frame.OX   p.y*frame.OY   p.z*frame.OZ   frame.O;

p2 就是转换到 WC 的点。

２、如何根据坐标架生成变换矩阵
　　 矩阵在图形程序中应用十分广泛。它可以表达更复杂的变换形式。这里所指的矩阵是左乘矩阵，即矩阵位于点的左边。



　　我们可以用一个矩阵来代表从坐标架外到坐标架中的变换，也可以用一个矩阵代表从坐标架之中到坐标架之外的变换。下面的 mat 是按照行优先规则存放的矩阵。从坐标架中变换到坐标架外 frame->WC 的矩阵如下 frame->WC 变换矩阵：

mat[0] = OX.x;	mat[1] = OY.x;	mat[2] =  OZ.x;	mat[3] = Oc.x;

mat[4] = OX.y;	mat[5] = OY.y;	mat[6] =  OZ.y;	mat[7] = Oc.y;

mat[8] = OX.z;	mat[9] = OY.z;	mat[10] = OZ.z;	mat[11] = Oc.z;

mat[12] = 0;	mat[13] = 0;	mat[14] = 0;	mat[15] = 1;

其中，OX, OY, OZ 是坐标架的三个基矢量，Oc 是坐标架的坐标原点。我们将这个矩阵乘以点 p(x,y,z,1)

p1 = mat*p;

　　 我们可以得到 p1 就是 WC 坐标系下面的点。下面是这个矩阵的推导过程，如果觉得头大，可以跳过去。

推导过程：

　　首先我们来看上面得到的根据一个坐标架，从坐标架内转换到坐标架外的公式：



Px 是被转换的点，P1 是转换后的点。为了书写方便，我们把 frame.OX 写成 OX，其余类推。于是得到：



这个公式已经可以看到矩阵的影子了。为了进一步向 4*4 的矩阵靠近，我们采用齐次形式：



　　我们把它逐渐展开，我们就得到了这一大堆东西，这下子矩阵相乘的形式出来了。这里的 4*4 的矩阵，就是上面的 mat 数组。

搞定了 frame->WC 的矩阵，我们现在来搞 WC->frame 的矩阵，

WC->frame 变换矩阵：

mat[0] = OX.x;	mat[1] = OX.y;	mat[2] =  OX.z;	mat[3] = -(Oc.x*OX.x   Oc.y*OX.y   Oc.z*OX.z);

mat[4] = OY.x;	mat[5] = OY.y;	mat[6] =  OY.z;	mat[7] = -(Oc.x*OY.x   Oc.y*OY.y   Oc.z*OY.z);

mat[8] = OZ.x;	mat[9] = OZ.y;	mat[10] = OZ.z;	mat[11] = -(Oc.x*OZ.x   Oc.y*OZ.y   Oc.z*OZ.z);

mat[12] = 0;	mat[13] = 0;	mat[14] = 0;	mat[15] = 1;

　　写代码的时候把这一堆抄过去就行了。如果不想看推导，就跳过下面的部分。

推导过程：

同样的我们根据上面的式子出发进行推导：



在这里，我们把点也搞成了齐次形式，位的是更好的向 4*4 矩阵迈进。我们继续拆解上面第二个式子的右面部分



其实也很容易出来（不过炮炮是想了很长时间才想出来的：）。

３、如何通过矩阵作点的坐标变换

　　 这个最好办了。我们这里讨论的矩阵都是左乘矩阵，所以把矩阵乘以点就完成了变换。

x = M[0][0]*Px   M[0][1]*Py   M[0][2]*Pz   M[0][3];

y = M[1][0]*Px   M[1][1]*Py   M[1][2]*Pz   M[1][3];

z = M[2][0]*Px   M[2][1]*Py   M[2][2]*Pz   M[2][3];

这里的 M 是一个 4*4 的二维数组，存放行优先的矩阵。

4、曲线、曲面方程如何作变换

　　 曲线、曲面方程有参数方程、非参数方程等形式。当然曲线、曲面还可能由微分方程描述。这个时候微分方程如果没有公式解，事情就很麻烦。计算机中一般比较容易处理参数方程。参数方程作变换形式上很简单 。



　　右边的结果会得到一个矢量，最终可以得到 (F1x, F1y, F1z) 的形式，这是一个新的参数方程。如果曲线曲面由非参数方程描述 F(x,y,z)=0，比如



这个时候，你可以尝试解出 x,y,z：
令 x = u，y = v，可以得到



　　这下得到参数方程了，可以按照前面讲的步骤作转换。最后你会得到曲线、曲面变换后的参数方程。接下来你可以尝试着消去这些中间参数 u,v。这个过程可能会比较艰难。
如果遇到隐式方程，无法解出，比如



　　这是最倒霉的情况，求解是没希望的。当然，如果你不要求精确的公式，你还是可以先令 x=u， y=v，代入之后，用泰勒展开求的 z 的级数，这也是一个方法哦：）