用递归的方法画分形图

分形几何是数学领域里新兴的课题，如果将图形的每个元素按某种规则进行变形，得到新的图形，以此类推，进行若干次变形后得到的图形就是分形图形。Couch曲线是最典型的分形图形：

　　将一条线段按照图1进行变换，得到图1，再将图1中的每条线段按图1的折线变换得到图2，以此类推，进行6次变换就得到图6，如果进行无限次变换，就得到的是Couch曲线，Couch曲线的维数不是整数维，更多详情请见分形方面的书籍。

　　用分形图形能画图许多漂亮的图案而被广泛地应用，下面将几个简单的分形图形的代码与图形大家分享。

//Couch曲线的画法
void Couch(CDC *pDC,int x1,int y1,int x2,int y2,int n)
{
 //pDC是画图的设备上下文的指针
 //x1,y1,x2,y2是起始的两点
 //其中参数n是递归的层数
 int x3,y3,x4,y4,x5,y5;
 //以下是根据空间几何计算出来的坐标
 x3=x1+(x2-x1)/3;
 y3=y1+(y2-y1)/3;
 x4=x1+(x2-x1)*2/3;
 y4=y1+(y2-y1)*2/3;
 x5=x3+(x4-x3)/2+int(sqrt(3)*(y4-y3)/2);
 y5=y3-int(sqrt(3)*(x4-x3)/2)+(y4-y3)/2;
 //递归最后一层,递归的出口
 if(n==1)
 {
  pDC->MoveTo(x1,y1);
  pDC->LineTo(x3,y3);
  pDC->LineTo(x5,y5);
  pDC->LineTo(x4,y4);
  pDC->LineTo(x2,y2);
 }
 else
 {
  //递归画图
  Couch(pDC,x1,y1,x3,y3,n-1);
  Couch(pDC,x3,y3,x5,y5,n-1);
  Couch(pDC,x5,y5,x4,y4,n-1);
  Couch(pDC,x4,y4,x2,y2,n-1);
 }
}

//斯宾斯基篓垫的画法
void Floor(CDC *pDC,int x1, int y1,int x2,int y2,int x3,int y3,int n)
{
 //pDC是画图的设备上下文的指针
 //x1,y1,x2,y2,x3,y3是起始的三角形的三点坐标
 //其中参数n是递归的层数
 int x11,x22,x33,y11,y22,y33;
 //以下是根据空间几何计算出来的坐标
 x11=(x2+x3)/2;
 y11=(y2+y3)/2;
 x22=(x1+x3)/2;
 y22=(y1+y3)/2;
 x33=(x1+x2)/2;
 y33=(y1+y2)/2;

 pDC->MoveTo(x11,y11);
 pDC->LineTo(x22,y22);
 pDC->MoveTo(x11,y11);
 pDC->LineTo(x33,y33);
 pDC->MoveTo(x22,y22);
 pDC->LineTo(x33,y33);
 //递归最后一层,递归的出口
 if(n==1)
 {
  pDC->MoveTo(x11,y11);
  pDC->LineTo(x22,y22);
  pDC->LineTo(x33,y33);
  pDC->LineTo(x11,y11);
 }
 else
 {
  //递归画图
  Floor(pDC,x1,y1,x33,y33,x22,y22,n-1);
  Floor(pDC,x33,y33,x2,y2,x11,y11,n-1);
  Floor(pDC,x22,y22,x11,y11,x3,y3,n-1);
 }
}

//分形矩形的画法
void Rect(CDC *pDC,int x1,int y1,int x2,int y2,int n)
{
 //pDC是画图的设备上下文的指针
 //x1,y1,x2,y2是起始矩形坐标
 //其中参数n是递归的层数
 int x3,y3,x4,y4,x5,y5,x6,y6;
 //以下是根据空间几何计算出来的坐标
 x3=x1+(x2-x1)/3;
 y3=y1+(y2-y1)/3;
 x4=x1+(x2-x1)*2/3;
 y4=y1+(y2-y1)*2/3;
 x5=x3+(y4-y3);
 y5=y3-(x4-x3);
 x6=x4-(y3-y4);
 y6=y4+(x3-x4);
 
 pDC->MoveTo(x1,y1);
 pDC->LineTo(x3,y3);
 pDC->MoveTo(x4,y4);
 pDC->LineTo(x2,y2);
 //递归最后一层,递归的出口
 if(n==1)
 {  
  pDC->MoveTo(x1,y1);
  pDC->LineTo(x3,y3);
  pDC->LineTo(x5,y5);
  pDC->LineTo(x6,y6);
  pDC->LineTo(x4,y4);
 }
 else
 {
  //递归画图
  Rect(pDC,x3,y3,x5,y5,n-1);
  Rect(pDC,x5,y5,x6,y6,n-1);
  Rect(pDC,x6,y6,x4,y4,n-1);
 }
}

//分形树的画法，其中参数n是递归的层数
void Tree(CDC *pDC,int x1,int y1,int x2,int y2,int n)
{
 //pDC是画图的设备上下文的指针
 //x1,y1,x2,y2是起始矩形坐标
 //其中参数n是递归的层数
 int x3,y3,x4,y4,x5,y5;
 //以下是根据空间几何计算出来的坐标
 x3=x1+(x2-x1)/3;
 y3=y1+(y2-y1)/3;
 x4=x3+int((x1-x3)*cos(5*pi/6))-int((y1-y3)*sin(5*pi/6));
 y4=y3+int((x1-x3)*sin(5*pi/6))+int((y1-y3)*cos(5*pi/6));
 x5=x3+int((x1-x3)*cos(5*pi/6))+int((y1-y3)*sin(5*pi/6));
 y5=y3-int((x1-x3)*sin(5*pi/6))+int((y1-y3)*cos(5*pi/6));

 pDC->MoveTo(x1,y1);
 pDC->LineTo(x2,y2);
 //递归最后一层,递归的出口
 if(n==1)
 {
  pDC->MoveTo(x3,y3);
  pDC->LineTo(x4,y4);
  pDC->MoveTo(x3,y3);
  pDC->LineTo(x5,y5);
 }
 else
 {
  //递归画图
  Tree(pDC,x3,y3,x2,y2,n-1);
  Tree(pDC,x3,y3,x4,y4,n-1);
  Tree(pDC,x3,y3,x5,y5,n-1);
 }
}

　　上述的代码及图形附有Visual C++源代码，并在Windows XP和Visual C++6.0下调试成功。更多的分形图形及图形坐标空间几何的计算方法请与作者联系。