缺8数 Missing 8 number

缺8数，是指在自然数012345679中没有8，所以被称为“缺8数”，它有非常多奇妙的性质。

缺8数“清一色”
缺8数在乘9至81中的9的倍数可以得到“清一色”，例如：
   12345679×9=111111111
   12345679×18=222222222
   12345679×27=333333333
   12345679×36=444444444
   12345679×45=555555555
   12345679×54=666666666
   12345679×63=777777777
   12345679×72=888888888
   12345679×81=999999999
但实际上也可以看成是
   12345679×9=111111111
   12345679×9×2=111111111×2
   12345679×9×3=111111111×3
   12345679×9×4=111111111×4
   12345679×9×5=111111111×5
   12345679×9×6=111111111×6
   12345679×9×7=111111111×7
   12345679×9×8=111111111×8
   12345679×9×9=111111111×9


缺8数三位一体
缺8数乘以3的倍数但不是9的倍数的数（12起至78），可以得到“三位一体”，例如：
   12345679×12=148148148
   12345679×15=185185185
   12345679×21=259259259
   12345679×24=296296296
   12345679×30=370370370
   12345679×33=407407407
   12345679×39=481481481
   12345679×42=518518518
   12345679×48=592592592
   12345679×51=629629629
   12345679×57=703703703
   12345679×60=740740740
   12345679×66=814814814
   12345679×69=851851851
   12345679×75=925925925
   12345679×78=962962962
   ……

缺8数轮流休息
当乘数不是9或3的倍数时，此时虽然没有清一色或三位一体的现象，但仍可以看到一种奇异性质：乘积的各位数字均无雷同，缺少1个数字，而且存在着明确的规律。另外，在乘积中缺3、缺6、缺9的情况肯定不存在。
先看一位数的情形：
   12345679×1=12345679（缺0和8）
   12345679×2=24691358（缺0和7）
   12345679×4=49382716（缺0和5）
   12345679×5=61728395（缺0和4）
   12345679×7=86419753（缺0和2）
   12345679×8=98765432（缺0和1）
上面的乘积中，都不缺数字3，6，9，而都缺0。缺的另一个数字是8,7,5,4,2,1，且从大到小依次出现。
让我们看一下乘数在区间[10，17]的情况（其中12和15因是3的倍数，予以排除）：
而在乘数与缺的数中也有规律可循，即缺数与乘数的个、十位数字相加的和等于9。如：
   12345679×10=123456790（缺8） 1+0+8=9
   12345679×11=135802469（缺7） 1+1+7=9
   12345679×13=160493827（缺5） 1+3+5=9
   12345679×14=172839506（缺4） 1+4+4=9
   12345679×16=197530864（缺2） 1+6+2=9
   12345679×17=209876543（缺1） 1+7+1=9
乘数在[19，26]及其他区间（区间长度等于7）的情况与此完全类似。以上乘积中仍不缺3，6，9，但再也不缺0了，而缺少的另一个数与前面的类似——按大小的次序各出现一次。乘积中缺什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，既不多也不少，实在有趣。
乘数在[19～26]及其他区间（区间长度等于7）的情况与此完全类似。
12345679×19=234567901（缺8）
   12345679×20=246913580（缺7）
   12345679×22=271604938（缺5）
   12345679×23=283950617（缺4）
   12345679×25=308641975（缺2）
   12345679×26=320987654（缺1）

缺8数一以贯之
当乘数超过81时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现象依然存在，真是“吾道一以贯之”。例如：
乘数为9的倍数
12345679×243=2999999997
只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上，仍呈现“清一色”。
乘数为3的倍数，但不是9的倍数
12345679×84=1037037036
只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上，又出现“三位一体”。
乘数为3K+1或3K+2型
12345679×98=1209876542
表面上看来，乘积中出现相同的2，但只要把乘积中最左边的数1加到最右边的2上去之后，所得数为209876543，是“缺1”数，仍是轮流“休息”。


缺8数走马灯
当缺8数乘以19时，其积将是234567901，像走马灯一样，原先居第二位的数2却成了开路先锋。例如：
   12345679×19=234567901
   12345679×28=345679012
   12345679×37=456790123
   12345679×46=567901234
深入的研究显示，当乘数为一个公差等于9的算术级数时，出现“走马灯”的现象。例如：
   12345679×8=098765432
   12345679×17=209876543
   12345679×26=320987654
   12345679×35=432098765
现在，我们又把乘数依次换为10，19，28，37，46，55，64，73（它们组成公差为9的等差数列）：
   12345679×10=123456790
   12345679×19=234567901
   12345679×28=345679012
   12345679×37=456790123
   12345679×46=567901234
   12345679×55=679012345
   12345679×64=790123456
   12345679×73=901234567
以上乘积全是“缺8数”！数字1，2，3，4，5，6，7，9像走马灯似的，依次轮流出现在各个数位上。


缺8数回文结对
回文缺8数的精细结构引起研究者的浓厚兴趣，人们偶然注意到：
12345679×4=49382716
12345679×5=61728395
前一式的数颠倒过来读，正好就是后一式的积数。（虽有微小的差异，即5代以4，而根据“轮休学说”，这正是题中应有之义）
这样的“回文结对，携手并进”现象，对（13、14）（22、23）（31、32）（40、41）等各对乘数（每相邻两对乘数的对应公差均等于9）也应如此。例如：
12345679×13=160493827
　　12345679×14=172839506
12345679×22=271604938
　　12345679×23=283950617
12345679×67=827160493
　　12345679×68=839506172
前一式的数颠倒过来读，正好是后一式的积数。（前一式的积首位移到末位再颠倒过来读，并5代以4）




缺8数遗传因子
“缺8数”还能“生儿育女”，这些后裔秉承其“遗传因子”，完全承袭上面的这些特征。
所以这个庞大家族的成员几乎都同其始祖12345679具有同样的本领。
　　例如，506172839是“缺8数”与41的乘积，所以它是一个衍生物。
　　我们看到，506172839×3=1518518517。
将乘积中最左边的数1加到最右边的7上之后，得到8。如前所述，“三位一体”模式又来到我们面前。

缺8数回文现象
继续做乘法：
   12345679×9=111111111
   12345679×99=1222222221
   12345679×999=12333333321
   12345679×9999=123444444321
   12345679×99999=1234555554321
   12345679×999999=12345666654321
   12345679×9999999=123456777654321
   12345679×99999999=1234567887654321
   12345679×999999999=12345678987654321
奇迹出现了！等号右边全是回文数（从左读到右或从右读到左，同一个数）。
而且，这些回文数全是“阶梯式”上升和下降，神奇、优美、有趣！
因为12345679=333667×37，所以“缺8数”是一个合数。
“缺8数”和它的两个因数333667、37，这三个数之间有一种奇特的关系。
一个因数333667的首尾两个数3和7、就组成了另一个因数37；
而“缺8数”本身数字之和1+2+3+4+5+6+7+9也等于37。
可见“缺8数”与37天生结了缘。
更令人惊奇的是，把1/81化成小数，这个小数也是“缺8数”：
1/81=0.012345679012345679012345679……
为什么别的数字都不缺，唯独缺少8呢？
原来1/81=1/9×1/9=0.1111…×0.11111….
这里的0.1111…是无限小数，在小数点后面有无穷多个1。
“缺8数”的奇妙性质，集中体现在大量地出现数学循环的现象上，而且这些循环非常有规律，令人惊讶。
“缺8数”的奇特性质，早就引起了人们的浓厚兴趣。而它其中还有多少奥秘，人们一定会把它全部揭开。


缺8数追本求源
缺8数12345679实际上与循环小数是一根藤上的瓜，因为：
1/81=0.012345679012345679012345679……，缺8数和1/81的循环节有关。
在以上小数中，为什么别的数码都不缺，而唯独缺少8呢？
我们看到，1/81=1/9×1/9，把1/9化成循环小数，其循环节只有一位，即1/9=0.111111111……
1/9×1/9，即无穷个1的自乘。不妨先从有限个1的平方来看：
很明显，11的平方=121，111的平方=12321，……，直到111111111的平方=12345678987654321。
但无穷个1的平方，长长的队伍看不到尽头，怎么办呢？利用数学归纳法，不难证明，在所有的层次，8都被一一跳过。
那么，缺8数乘以9的倍数得到“清一色”就很好理解了，因为：
1/81×9=1/9=0.111111111……
缺8数乘以3的倍数得到“三位一体”也不难理解，因为：
1/81×3=1/27=0.037037037……，一开始就出现了三位的循环节。
缺8数隐藏在循环小数里 缺8数隐藏在循环小数里
缺8数乘以公差为9的等差数列时相当于在原有基础上每位数加1，自然就出现“走马灯”了。
循环小数与循环群、周期现象的研究方兴未艾，缺8数已引起人们的浓厚兴趣与密切关注。由于计算机科学的蓬勃发展，人们越来越不满足于泛泛的几条性质，而更着眼于探索其精微的结构。


缺8数其他类型
也许有人以为缺八数是10进制下的特有情况，但事实是，在所有进制下都有这种情况出现。
8进制中缺“8”数为：123457
满足：123457（8）×7（8）=1111111（8）
16进制中缺“8”数为：12345679abcdf(16)
满足：12345679abcdf(16)×f(16)=111111111111111(16)
如前所述，缺8数的出现与循环小数有密切的联系。
在任何一种进制中，1除以最大的个位数，得到的都是0.1111...无限循环的小数，缺8数的全部性质理论上应该都能由此推出。
可以认为，缺8数的性质是由进制的规则决定的，是进制性质的反应。


缺8数神奇的数字
   1×8 + 1= 9
   12×8 + 2= 98
   123×8 + 3= 987
   1234×8 + 4= 9876
   12345×8 + 5= 98765
   123456×8 + 6= 987654
   1234567×8 + 7= 9876543
   12345678×8 + 8= 98765432
   123456789×8 + 9= 987654321
   
   1×9 + 2= 11
   12×9 + 3= 111
   123×9 + 4= 1111
   1234×9 + 5= 11111
   12345×9 + 6= 111111
   123456×9 + 7= 1111111
   1234567×9 + 8= 11111111
   12345678×9 + 9= 111111111
   123456789×9 +10= 1111111111
   
   9×9 + 7= 88
   98×9 + 6= 888
   987×9 + 5= 8888
   9876×9 + 4= 88888
   98765×9 + 3= 888888
   987654×9 + 2= 8888888
   9876543×9 + 1= 88888888
   98765432×9 + 0= 888888888
   987654321×9 - 1=8888888888
   9876543210×9 - 2=88888888888
   
   1×1= 1
   11×11= 121
   111×111= 12321
   1111×1111= 1234321
   11111×11111= 123454321
   111111×111111= 12345654321
   1111111×1111111= 1234567654321
   11111111×11111111= 123456787654321