输出整数对应二进制数中1的个数

很经典的一道题，有很多种算法，许多算法都有很好的参考意义，当然，也存在相对最优的算法。 
首先来看一下问题描述： 
Write the function int bitCount(DWORD input) that takes a short as input and returns an int.  The function returns the number of bits set in the input variable.  For instance: 
bitCount(7) --> 3 
bitCount(2543) --> 9 
bitCount(11111) –> 9

《编程之美》中也存在这道题的描述，不过input类型变为BYTE即unsigned char型（扩展中为DWORD）。需要注意的是，input的数据类型对此题影响很大。这里，我们以32位无符号整数即DWORD(unsigned int)为主，同时会简单介绍一下BYTE的O(1)算法。

算法一：

      判断input的最低位是否为1（与1做’&’运算），若是则计数器++；否则，input<<1即右移一位，循环继续。程序写起来也比较简单:

 

int BitCount(unsigned int input) 
{ 
    int nRet = 0; 
    while(input != 0) 
    { 
        // 表示最低位为1 
        if(input & 1) 
            nRet++; 
        input = input >> 1; // 右移1位 
    } 
    return nRet; 
}

算法的时间复杂度为O(n)，n为二进制的位数。

 

算法二：

      循环时只与位为1的进行判断，利用判断一个数是否为2的n次幂的算法来做。

为了简化描述，我们以8位2进制数为例来解析，32位类似。如：01000000，如何去判断这个二进制数里面有且仅有一个1呢？很自然的想到可以通过判断这个数是否为2的n次幂来实现。假设我们希望这个数和某个数的运算结果为0，则代表该数是2的n次幂，那么00111111便符合要求。即01000000 & 00111111 = 0，而00111111 = 01000000 – 1;连起来即01000000 & 00111111 = 01000000 & (01000000 – 1) = 0;

那么我们就有了数学上的描述，设数为x，那么其是否为2的n次幂就可以通过一个x & ( x – 1 ) == 0来判断（是则返回TRUE，否则FALSE）。

很快写出程序：

 

int BitCount(short input) 
{ 
    int nRet = 0; 
    while(input) 
    { 
        input &= (input - 1); 
        nRet++; 
    } 
    return nRet; 
}

注意，while循环内第一句为’&=’运算。 
算法的时间复杂度为O(M)，M为二进制数中为1的位数

 

算法三：

      对于input为BYTE类型的数，可以采用查表法，空间换时间，达到O(1)的时间复杂度，对于input为DWORD来说，这种方法没有意义。

 

算法四：

      通过位运算技巧可得到一个效率极高的算法，同时可通过简单修改适用于各种数位，先给出完整代码：

/* 
* 下面这个函数，是针对32位的，至于其它位数稍加修改就可以了。 
* 
* return number of bits set 
*/ 
#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 

unsigned int bitcount32(unsigned int x) 
{ 
    x = (x & 0x55555555UL) + ((x >> 1) & 0x55555555UL); // 0-2 in 2 bits 
    x = (x & 0x33333333UL) + ((x >> 2) & 0x33333333UL); // 0-4 in 4 bits 
#if 1 
    // Version 1 
    x = (x & 0x0f0f0f0fUL) + ((x >> 4) & 0x0f0f0f0fUL); // 0-8 in 8 bits 
    x = (x & 0x00ff00ffUL) + ((x >> 8) & 0x00ff00ffUL); // 0-16 in 16 bits 
    x = (x & 0x0000ffffUL) + ((x >> 16) & 0x0000ffffUL); // 0-31 in 32 bits 
    return x; 
#else 
    // Version 2 
    x = (x + (x >> 4)) & 0x0f0f0f0fUL; // 0-8 in 4 bits 
    x += x >> 8; // 0-16 in 8 bits 
    x += x >> 16; // 0-32 in 8 bits 
    return x & 0xff; 
#endif 
} 

int main() 
{ 
    short nVal; 
    int nCount; 
    printf("Input a value:"); 
    scanf("%d", &nVal); 
    nCount = bitcount32(nVal); 
    printf("BitCount:%d\n", nCount); 
    system("pause"); 
    return 0; 
}

下面对代码做下解释，解释大部分引用自http://blog.csdn.net/jiyucn/archive/2006/06/19/812845.aspx 感谢原作者:)

对于二进制数的理解，二进制数每一位只能为0和1，因此在这个地方，我们可以理解为每一位都可以表示该位中包含1的数目。

看bitcount第一行代码：x = (x & 0x55555555UL) + ((x >> 1) & 0x55555555UL);

5的二进制是 0101，当x & 0x55555555UL得出的结果是保留了0, 2, 4, 6 ... , 30 位的值，即 0, 2, 4, 6 ,... , 30 位中包含1的数目；那么自然可以理解(x >> 1) & 0x55555555UL得出的结果是保留了1, 3, 5, 7, ... , 31 位的值，即 1, 3, 5, 7, ..., 31 位中包含1的数目。把两者相加起来：

    xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx

  +0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101

------------------------------------------------------------------------

    0x0x 0x0x 0x0x 0x0x 0x0x 0x0x 0x0x 0x0x                            （这里的x即为x中 0, 2, 4, ... , 30 位的值）

    0xxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx

  +0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101

------------------------------------------------------------------------

    0y0y 0y0y 0y0y 0y0y 0y0y 0y0y 0y0y 0y0y                            （这里的y即为x中 1, 3, 5 , ... , 31 位的值）

    0x0x 0x0x 0x0x 0x0x 0x0x 0x0x 0x0x 0x0x

  +0y0y 0y0y 0y0y 0y0y 0y0y 0y0y 0y0y 0y0y

------------------------------------------------------------------------

    zz zz zz zz zz zz zz zz

    可以把32位的X数每两位看成一个最小单元，x+y的值z即为这个两位最小单元中，1的个数。可以看出，巧妙地把两个加数种0的空间用来保存进位。那么到现在为止，我们就得到了数X中，每两位为最小单位，每两位中的数值表示着这两位中1的个数。

    依此类推，接下来我们用同样的方法计算以4位为最小单位，4位中的数值表示该4位中1的个数，即：x = (x & 0x33333333UL) + ((x >> 2) & 0x33333333UL);

    然后是 8位， 16位，当计算到以32位为最小单位，32位中的数值表示该32位中1的个数的时候，答案就揭晓了。

 

算法五：

HAKMEM算法，来自http://www.blogjava.net/zellux/archive/2008/04/15/192955.html，这里就不贴代码了，zellux解释的很清楚:)