散列表（哈希表）工作原理

1. 引言
       哈希表（Hash Table）的应用近两年才在NOI中出现，作为一种高效的数据结构，它正在竞赛中发挥着越来越重要的作用。
哈希表最大的优点，就是把数据的存储和查找消耗的时间大大降低，几乎可以看成是常数时间；而代价仅仅是消耗比较多的内存。然而在当前可利用内存越来越多的情况下，用空间换时间的做法是值得的。另外，编码比较容易也是它的特点之一。
       哈希表又叫做散列表，分为“开散列” 和“闭散列”。考虑到竞赛时多数人通常避免使用动态存储结构，本文中的“哈希表”仅指“闭散列”，关于其他方面读者可参阅其他书籍。

2. 基础操作
2.1 基本原理
       我们使用一个下标范围比较大的数组来存储元素。可以设计一个函数（哈希函数，也叫做散列函数），使得每个元素的关键字都与一个函数值（即数组下标）相对应，于是用这个数组单元来存储这个元素；也可以简单的理解为，按照关键字为每一个元素“分类”，然后将这个元素存储在相应“类”所对应的地方。
但是，不能够保证每个元素的关键字与函数值是一一对应的，因此极有可能出现对于不同的元素，却计算出了相同的函数值，这样就产生了“冲突”，换句话说，就是把不同的元素分在了相同的“类”之中。后面我们将看到一种解决“冲突”的简便做法。
总的来说，“直接定址”与“解决冲突”是哈希表的两大特点。

2.2 函数构造
       构造函数的常用方法（下面为了叙述简洁，设 h(k) 表示关键字为 k 的元素所对应的函数值）：
a) 除余法：
       选择一个适当的正整数 p ，令 h(k ) = k mod p ，这里， p 如果选取的是比较大的素数，效果比较好。而且此法非常容易实现，因此是最常用的方法。
b) 数字选择法：
       如果关键字的位数比较多，超过长整型范围而无法直接运算，可以选择其中数字分布比较均匀的若干位，所组成的新的值作为关键字或者直接作为函数值。

2.3 冲突处理
       线性重新散列技术易于实现且可以较好的达到目的。令数组元素个数为 S ，则当 h(k) 已经存储了元素的时候，依次探查 (h(k)+i) mod S , i=1,2,3…… ，直到找到空的存储单元为止（或者从头到尾扫描一圈仍未发现空单元，这就是哈希表已经满了，发生了错误。当然这是可以通过扩大数组范围避免的）。

2.4 支持运算
       哈希表支持的运算主要有：初始化(makenull)、哈希函数值的运算(h(x))、插入元素(insert)、查找元素(member)。设插入的元素的关键字为 x ，A 为存储的数组。初始化比较容易，例如：

const empty=maxlongint; // 用非常大的整数代表这个位置没有存储元素
p=9997; // 表的大小
procedure makenull;
var i:integer;
begin
for i:=0 to p-1 do
A[i]:=empty;
End;

哈希函数值的运算根据函数的不同而变化，例如除余法的一个例子：

function h(x:longint):Integer;
begin
h:= x mod p;
end;

   我们注意到，插入和查找首先都需要对这个元素定位，即如果这个元素若存在，它应该存储在什么位置，因此加入一个定位的函数 locate 
 

function locate(x:longint):integer;
var orig,i:integer;
begin
orig:=h(x);
i:=0;
while (i<S)and(A[(orig+i)mod S]<>x)and(A[(orig+i)mod S]<>empty) do
inc(i);
//当这个循环停下来时，要么找到一个空的存储单元，要么找到这个元

//素存储的单元，要么表已经满了

locate:=(orig+i) mod S;
end;

 
插入元素 

procedure insert(x:longint);
var posi:integer;
begin
posi:=locate(x); //定位函数的返回值

if A[posi]=empty then A[posi]:=x
else error; //error 即为发生了错误，当然这是可以避免的

end;


查找元素是否已经在表中

procedure member(x:longint):boolean;
var posi:integer;
begin
posi:=locate(x);
if A[posi]=x then member:=true
else member:=false;
end;

这些就是建立在哈希表上的常用基本运算。

初步结论： 
   当数据规模接近哈希表上界或者下界的时候，哈希表完全不能够体现高效的特点，甚至还不如一般算法。但是如果规模在中央，它高效的特点可以充分体现。试验表明当元素充满哈希表的 90% 的时候，效率就已经开始明显下降。这就给了我们提示：如果确定使用哈希表，应该尽量使数组开大，但对最太大的数组进行操作也比较费时间，需要找到一个平衡点。通常使它的容量至少是题目最大需求的 120% ，效果比较好（这个仅仅是经验，没有严格证明）。

4. 应用举例
4.1 应用的简单原则 
  什么时候适合应用哈希表呢？如果发现解决这个问题时经常要询问：“某个元素是否在已知集合中？”，也就是需要高效的数据存储和查找，则使用哈希表是最好不过的了！那么，在应用哈希表的过程中，值得注意的是什么呢？
哈希函数的设计很重要。一个不好的哈希函数，就是指造成很多冲突的情况，从前面的例子已经可以看出来，解决冲突会浪费掉大量时间，因此我们的目标就是尽力避免冲突。前面提到，在使用“除余法”的时候，h(k)=k mod p ，p 最好是一个大素数。这就是为了尽力避免冲突。为什么呢？假设 p=1000 ，则哈希函数分类的标准实际上就变成了按照末三位数分类，这样最多1000类，冲突会很多。一般地说，如果 p 的约数越多，那么冲突的几率就越大。
简单的证明：假设 p 是一个有较多约数的数，同时在数据中存在 q 满足 gcd(p,q)=d >1 ，即有 p=a*d , q=b*d, 则有 q mod p= q – p* [q div p] =q – p*[b div a] . ① 其中 [b div a ] 的取值范围是不会超过 [0，b] 的正整数。也就是说， [b div a] 的值只有 b+1 种可能，而 p 是一个预先确定的数。因此 ① 式的值就只有 b+1 种可能了。这样，虽然mod 运算之后的余数仍然在 [0，p-1] 内，但是它的取值仅限于 ① 可能取到的那些值。也就是说余数的分布变得不均匀了。容易看出， p 的约数越多，发生这种余数分布不均匀的情况就越频繁，冲突的几率越高。而素数的约数是最少的，因此我们选用大素数。记住“素数是我们的得力助手”。 
   另一方面，一味的追求低冲突率也不好。理论上，是可以设计出一个几乎完美，几乎没有冲突的函数的。然而，这样做显然不值得，因为这样的函数设计很浪费时间而且编码一定很复杂，与其花费这么大的精力去设计函数，还不如用一个虽然冲突多一些但是编码简单的函数。因此，函数还需要易于编码，即易于实现。 
   综上所述，设计一个好的哈希函数是很关键的。而“好”的标准，就是较低的冲突率和易于实现。 
  另外，使用哈希表并不是记住了前面的基本操作就能以不变应万变的。有的时候，需要按照题目的要求对哈希表的结构作一些改进。往往一些简单的改进就可以带来巨大的方便。
这些只是一般原则，真正遇到试题的时候实际情况千变万化，需要具体问题具体分析才行。