模运算

很多地方用到模运算，这里说明模运算的一些规律，并加以证明。 后续会对这些理论实际的应用加以记录和说明。

1. 模运算是取余运算(记做 % 或者 mod)，具有周期性的特点。 m%n的意思是n除m后的余数， 当m递增时m%n呈现周期性特点， 并且n越大，周期越长，周期等于n。 
    例如
       0 % 20 = 0，1 % 20 = 1， 2 % 20 = 2， 3 % 20 = 3， ...， 19 % 20 = 19
      20 % 20 = 0，21 % 20 = 1，22 % 20 = 2，23 % 20 = 3， ...，39 % 20 = 19
2. 如果 m % n = r，那么可以推出如下等式
    m = k * n + r (k为大于等于0的整数， r <= m）
3. 同余式， 表示正整数a，b对n取模，它们的余数相同，记做 a ≡ b mod n或者a = b (mod n)。
   根据2的等式可以推出 a = kn + b 或者 a - b = kn
   证明：  ∵ a = k1 * n + r1
             b = k2 * n + r2
          ∴ a - b = (k1 - k2) * n + (r1 - r2)
             a = k * n + (r1 - r2) + b
          ∵ a, b对n取模同余，r1 = r2
          ∴ a = k * n + b (k = k1 - k2)
4. 模运算规则， 模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下
   (a + b) % n = (a % n + b % n) % n            （1）
   (a - b) % n = (a % n - b % n) % n            （2） 
   (a * b) % n = (a % n * b % n) % n            （3）
    a^b % n = ((a % n)^b) % n                      （4）

（1）式证明
∵ a = k1*n + r1

   b = k2*n + r2

  a % n = r1

  b % n = r2

∴(a+b) % n = ((k1+k2)*n + (r1+r2)) % n = (r1+r2) % n = (a % n + b % n)% n
    得证
（2）式证明同上
（3）式证明
     a = k1*n + r1
     b = k2*n + r2
     (a*b) % n = (k1k2n² + (k1r2+k2r1)n + r1r2) % n = r1r2 % n = (a %n * b %n ) % n
 (4)式证明
      设 a % n = r
      a^b %n= (a * a * a * a…*a) %n = (a %n * a %n * a %n * … * a %n) %n = r^b % n = ((a % n) ^b) % n
 
模运算看起来不是很直观，但是可以用来推导出一些有用的东西。 例如（4）式可以用来降幂运算，例如计算62⁶⁵ % 133,直接计算的话需要算出62⁶⁵ 利用（4）式可以进行降幂运算。
  62⁶⁵ % 133
  = 62 * 62⁶⁴ % 133
  = 62 * (62²)³² % 133
  = 62 * 3844³² % 133
  = 62 * (3844 % 133)³² % 133
  = 62 * 120³² % 133

  = 62 * 36¹⁶ % 133
  = 62 * 99⁸ % 133
  = 62 * 92⁴ % 133
  = 62 * 85² % 133
  = 62 * 43 % 133
  = 2666 % 133
  = 6